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Trovare una funzione $ f(x) $ sugi interi tale ke $ f(f(x)) = x^2 $
E posibile risolvere tale equazione funzinale sui reali(a qsta domada nn ho saputo rispndere)?

nn credo proprio..... se f(x) è di grado 2 allora f(f(x)) è di grado 4 mentre se f(x) è di grado 1 allora f(f(x)) è di grado 1. In nessun caso f(f(x) può diventare di grado 2 o mi sbaglio?

attenzione: nn ho detto ke f(x) sia una funzione polinomiale! anzi probabilmente nel caso dei reali nn vi e neanke una "formula bella" per definire f(x), sara una qualke costruzione fatta apposta per il problema!

ah allora scusa ma mi sono imbarcato in un problema fuori dalla mia portata.....in effetti la teoria rigurdante le equazioni funzionali ancora non l'ho studiata
Però magari ne riparliamo tra un paio di mesi quando ci sarò arrivato

Per i reali una soluzione semplice è $ \mid x \mid ^{\sqrt2} $ ( a proposito, ne approfitto per chiedere come si fa il valore assoluto in TeX) ; quando dici "funzioni sugli interi" intendi da Z a Z?

Federiko ha scritto:quando dici "funzioni sugli interi" intendi da Z a Z?

sisi, esatto

Intanto mettiamo f(0)=0, f(1)=1, e f(-x)=f(x), e ora concentriamoci sui positivi maggiori di 1.
Numero gli interi che non sono quadrati, e chiamo A l'insieme di quelli con indice dispari e B l'insieme di quelli con indice pari. Numero anche questi due insiemi, e sia quindi $ $A_n $ (o $ $B_n $) l'n-esimo elemento di A (o di B).
Ora sia $ $f(A_n)=B_n $, per il resto la funzione è ben definita da $ $f(f(x))=x^2 $ infatti possiamo associare ad ogni $ $A_i $ una i-esima "catena" di valori che si creano per ricorrenza e dimostrare facilmente che queste catene sono disgiunte e che coprono tutti gli interi. Dato infatti un intero n, sia 2^k la massima potenza di 2 tale che $ $\sqrt[2^k]n\in Z $, abbiamo che n appartiene (e appartiene solo) alla catena generata da $ $\sqrt[2^k]n $ se $ $\sqrt[2^k]n\in A $ o da $ $f^{-1}(\sqrt[2^k]n) $ se $ $\sqrt[2^k]n\in B $, quindi possiamo determinare univocamente f(n)