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Ciao sono un utente appena arrivato. Mi potreste dare la soluzione di questo problema che mi sta facendo impazzire!?
Grazie!

Si consideri l’espressione

4^x+4^y+4^z
dove x, y, z sono interi non negativi.

(i) Provare che la quantit`a sopra scritta `e un quadrato perfetto per
infinite terne di interi (x,y, z).

(ii) Determinare tutte le terne di interi non negativi (x,y, z) tali che la
quantit`a sopra scritta sia un quadrato perfetto.

E' teoria dei numeri non algebra comunque proviamoci..

$ 4^x+4^y+4^z=k^2 $con $ x,y,z,k $ interi.

Si ha $ (4^\frac{x}{2}+4^\frac{y}{2})^2=k^2 $
E se $ 2\cdot2^x\cdot2^y=4^z $ abbiamo risolto.
Applicando le proprietà delle potenze si ha $ 2^{x+y+1}=2^{2z} $ e quindi deve essere $ z=\frac{x+y+1}{2} $. Identico ragionamento lo puoi fare ovviamente per ricavarti la $ x $ e la $ y $ e hai risolto.

E' corretto?

ndp15 ha scritto:Si ha $ (4^\frac{x}{2}+4^\frac{y}{2}+(2\cdot2^x\cdot2^y))^2=k^2 $

eh? perché dovrebbe essere proprio in quella forma? inoltre se sostituisci il 4^z e svolgi la parentesi non torni alla forma iniziale.
Comunque non hai scritto le soluzioni...

julio14 ha scritto:

ndp15 ha scritto:Si ha $ (4^\frac{x}{2}+4^\frac{y}{2}+(2\cdot2^x\cdot2^y))^2=k^2 $

eh? perché dovrebbe essere proprio in quella forma? inoltre se sostituisci il 4^z e svolgi la parentesi non torni alla forma iniziale.
Comunque non hai scritto le soluzioni...

Scusa è che sto mangiando e mi sono accorto esattamente a metà del primo che avevo sbagliato a scrivere . Guarda ora se va.

per il primo punto funziona... per il secondo non è detto che siano tutte di quella forma le soluzioni
(btw il primo si fa più facilmente con la terna (n,n+1,n+1))

Si hai completamente ragione. Ora vedo se sono in grado di fare anche la seconda parte.

Ritiro tutto quello che avevo scritto prima. Era una sciocchezza.

x=y=0 e z=2a ?? guarda che al contrario non c'è neanche una soluzione con queste terne

Questo problema andrebbe in Teoria dei Numeri, comunque (se ardete dal desiderio di vedere la soluzione) è stato già risolto due volte (da kn e da Ani-sama)

Consiglio però di provare prima da soli (dato che è abbastanza carino per essere un SNS)... così magari scopriamo altre soluzioni!