OliForum Matematico

Non so se sia già stato postato...cmq propongo un problema (secondo me carino , non eccessivamente complicato) che se non ricordo male viene dall'Engel:

Se 4^n + 2^n + 1 è primo,allora n è potenza di 3

Oltretutto, da una vecchia gara nazionale bulgara:
P

Noemi91x ha scritto:Se $ 4^n + 2^n + 1 $ è primo,allora $ n=3^k $ per qualche $ k \in \mathbb{N} $.

P(P)
Siano $ a \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}, p \in \mathbb{P} $ allora $ a^{(p-1)m}+a^{(p-2)m}+...a^m+1 \in \mathbb{P} $ solo se $ m=p^k $ per qualche $ k \in \mathbb{N} $.

P(P(P))
Siano $ a,n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\},m \in \mathbb{N} $ allora $ \Phi_n(a^m) \in \mathbb{P} $ solo se $ \{p \in \mathbb{P}:p|m\} \subseteq \{p \in \mathbb{P}:p|n\} $.

P(P(P(P)))
Siano $ a,n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\},m \in \mathbb{N} $ allora $ \Phi_n(a^m) $ è irriducibile se e solo se $ \{p \in \mathbb{P}:p|m\} \subseteq \{p \in \mathbb{P}:p|n\} $.


Qui: $ \mathbb{N}:=\{0,1,2,\ldots\}, \mathbb{P}:=\{2,3,5,\ldots\}, \Phi_n(x) $ è l'$ n- $esimo polinomio ciclotomico.

P(P)
Detto $ $q(a)=a^{p-1}+a^{p-2}+...+1 $, e detta $ $\alpha $ una radice p-esima dell'unità, abbiamo che $ $\alpha^k $ con $ $(k;p)=1 $ sono tutte le radici di $ $q(a) $.
Ora se $ $(m;p)=1 $, abbiamo che $ $q(\alpha^{km})=0 $ infatti $ $b\neq c\rightarrow kb\neq kc\pmod p $ che implica $ $q(\alpha^{km})=q(\alpha^k)=0 $.
Quindi se $ $(m;p)=1 $ allora $ $q(a)|q(a^m) $. Se m ha dei primi diversi da p, sia $ $m_1=\frac{m}{p^j} $ con $ $(m_1,p)=1 $, allora $ $q(a^{p^j})|q(a^{p^jm_1})=q(a^m) $, inoltre $ $q(n^{m_1})>q(n)>1 $ per ogni $ $n,m_1\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\} $, da cui la tesi.
Corollario: P

julio14 ha scritto:P(P)
...allora $ $q(a^{p^j})|q(a^{p^jm_1})=q(a^m) $...

Right
Dedurre che se $ n \in \mathbb{N} $ e $ 5^n+3^n+1 \in \mathbb{P}:=\{2,3,5,\ldots\} $ allora $ 12 \mid n $.

@edriv: i know

jordan ha scritto:

julio14 ha scritto:P(P)
...allora $ $q(a^{p^j})|q(a^{p^jm_1})=q(a^m) $...

Right
Dedurre che se $ n \in \mathbb{N} $ e $ 5^n+3^n+1 \in \mathbb{P}:=\{2,3,5,\ldots\} $ allora $ 12 \mid n $.

oddio ma in questo caso sprecavi adirittura MENO CARATTERI a dire "è primo"