OliForum Matematico

Io e altri membri del forum siamo passati x la finale del Kangourou a Mirabilandia. Potete postare qui alcuni problemi con cui possiamo allenarci? (Ho guardato molti siti e sono a corto di problemi). Grazie

finale nazionale, livello cadet

1) in una classe in cui ci sono almeno 2 maschi e 2 femmine, ogni ragazzo stringe una volta la mano ad ogni ragazza. In totale sono state effettuate 77 strette di mano. Quanti sono gli allievi di quella classe?

2) due diagonali dividono un quadrilatero in quattro sezioni le cui aree sono x,y,z e n
trovare n in funzione di x,y,z (leggermente modificato dal testo originale)

3) considera i numeri interi da 1 a 25 compresi. Vuoi sceglierne alcuni in modo che la somma di 2 qualunque tra quelli scelti non sia multiplo di 3. Quanti numeri puoi scegliere al massimo?

4)è possibile porre 21 piastrelle rettangolari, i cui lati misurano 1 e 3, sopra una scacchiera 8x8 formata da quadrati di lato 1 in modo che non ci siano piastrelle sporgenti dalla griglia, nè parzialmente sovrapposte? se si, mostra il disegno, se no, spiegane il motivo

5)una megalopoli ha forma di rettangolo di $ 20X13 $ ed è divisa in zone quadrate di lato 1. la città è attraversata diagonalmente da un fiume rettilineo e filiforme; Il Consiglio Comunale ha deliberato di costruire un ponte in ogni zona attraversata dal fiume. Quanti ponti bisogna costruire? e se fosse $ 21X12 $?
bonus question) e se fosse $ nXm $?

6) quanto vale la somma delle prime 6 cifre dopo la virgola della divisione per 7 di $ 2^{2007} $?

Ok... i problemi li ho guardati anche io (che però non partecipo al kangorou) e li ho risolti tutti tranne quello delle megalopoli. Non posto le mie soluzioni per lasciar fare ad altri ma chiedo 2 cose:
Per il problema 2 ho usato un teorema non molto conosciuto che porta alla soluzione in 2 secondi netti... è valida comunque???
Qualcuno può spiegarmi come risolvere il problema 5 :)
Ciaz

dario2994 ha scritto: Per il problema 2 ho usato un teorema non molto conosciuto che porta alla soluzione in 2 secondi netti... è valida comunque???

solo se sai (e scrivi) come si dimostra quel teorema... purtroppo penso che a mirabilandia puoi usare solo teoremi base... ma ti assicuro che anche senza teoremi è fattibilissimo il 2°

dario2994 ha scritto:Qualcuno può spiegarmi come risolvere il problema 5

lascio ad altri questo piacere (anche perchè quello è l'unico problema che ho stupidamente sbagliato)

nota interessante: questo problema era presente anche alle semifinali nazionali delle gare a squadre dell'anno scorso (infatti l'ho fatto in 2 secondi e l'abbiamo preso come jolly!!)

finale nazionale, livello junior

1)considera la seguente somma di 2008 elementi:
9+99+999+...+999...999
di cui il primo è costituito dalla sola cifra 9, il secondo dalla cifra 9 scritta 2 volte, e così via fino al 2008-esimo termine costituito da 2008 cifre 9.
quante cifre ha il risultato?
bonus question) qual'è il risultato?

2) dato un insieme di $ n $ oggetti con $ n $ naturale, quanti sono i suoi sottoinsiemi formati da un numero dispari di elementi?

3)chiama IMPERFETTO un insieme A di numeri naturali distinti tale che:
-sia composto da infiniti numeri
-comunque tu scelga un sottoinsieme finito B di tale insieme, la somma dei numeri di B non sia un quadrato perfetto
trova almeno un insieme IMPERFETTO
bonus question) dimostra che gli insiemi IMPERFETTI sono infiniti

4)si vogliono tracciare in un piano delle rette in modo tale che tra loro si vengano a formare angoli di ciascuna delle seguenti misure: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 (gradi centigradi). Qual'è il più piccolo numero di rette che realizza questa richiesta?
(mostrane il disegno)

5) In un piano sono assegnati alcuni punti non allineati in numero finito maggiore o uguale a 3. Fra di essi ne esistono 3 tali che il cerchio delimitato dalla circonferenza passante per questi 3 punti non contenga al suo interno alcuno degli altri punti?

6) Nel piano sono assegnati alcuni poligoni, non necessariamente convessi, in numero finito. Essi sono disposti in modo tale che 2 qualsiasi fra loro abbiano almeno un punto in comune. Dimostrare che esiste una retta che li interseca tutti.
L'affermazione rimane vera se, invece di poligoni, si considerano insiemi generici di punti?

5.
$ m+n-1 $ se $ MCD(m,n)=1 $
$ m+n-d $ se $ MCD(m,n)= d $ con $ d \ne 1 $

Infatti se $ m $ e $ n $ sono primi tra loro la diagonale attraversa tutte le strade del reticolo(le righe verticali e orizzontali). Ogni volta che attraversa una strada si passa da una zona ad un'altra. In tutto si passa $ (m-1)+(n-1) $ volte da una zona all'altra $ +1 $ quadratino iniziale fanno $ m+n-1 $

Se $ m $ e $ n $ non sono primi tra loro...si fa più o meno alla stessa maniera!

Il 4. viene veloce anche senza usare chissà quali teoremi...
$ $n=A(DOC)=\dfrac{CO \cdot DK}{2}= \dfrac{\dfrac{AO \cdot DK}{2} \cdot \dfrac{CO \cdot BH}{2}}{\dfrac{AO \cdot BH}{2}}=$ $
$ $= \dfrac{A(AOD) \cdot A(BOC)}{A(AOB} = \dfrac{x \cdot z}{y}$ $
Questa è la figura
http://www.naxa.it/fup/files/Gioacchino ... latero.bmp
Che teorema hai usato tu?

come l'ha fatto gioacchino è giusto e nn credo ci siano altri modi anche perchè essendo della cadet non può chiamare in causa teoremi strani. Comunque io l'avevo già incontrato da qualche parte che nn era nè il kangourou nè la gara a squadre. Quindi è 1 problema abbastanza riciclato da tutte le parti

exodd ha scritto:bonus question) qual'è il risultato?

Per questo direi $ $\frac{10^{2009}-18082}{9}$ $

Ma c'è un modo migliore per scriverlo o il bonus te lo sei inventato tu?

Haile ha scritto:

exodd ha scritto:bonus question) qual'è il risultato?

Per questo direi $ $\frac{10^{2009}-18082}{9}$ $

Ma c'è un modo migliore per scriverlo o il bonus te lo sei inventato tu?

tutti i bonus sono inventati da me

cmq il risultato è $ 111...1110-2008 $ con 2008 cifre 1

Per chi è già stato a Mirabilandia
Ma è come a Cesenatico, cioè solo problemi dimostrativi, o basta dare anche solamente la risposta secca? Se ad un dimostrativo viene data solo la risposta al problema, senza dimostrarla, viene assegnato qualche punto? grazie mille a chiunque risponda

no devi anche motivare la risposta. Se la dai secca ti prendi pochi punti a meno che non sia il problema stesso che ti dice che la risposta non va motivata. Comunque se hai notato i problemi sono di stampo abbastanza diverso rispetto a cesenatico......

exodd ha scritto:finale nazionale, livello junior

1)considera la seguente somma di 2008 elementi:
9+99+999+...+999...999
di cui il primo è costituito dalla sola cifra 9, il secondo dalla cifra 9 scritta 2 volte, e così via fino al 2008-esimo termine costituito da 2008 cifre 9.
quante cifre ha il risultato?

Scusare se insisto un po', ma non vorrei capire male
Ad esempio questo, (naturalmente non mi costa niente motivare la risposta di un problema facile di questo tipo), non dice se motivare o no la risposta, chiede solamente un numero, che bisogna fare in questo caso?
Ditemi se è così: i problemi in cui non si specifica nulla, bisogna motivare la risposta. Solamente nei problemi che indicano espressamente che non bisogna motivare, allora si può scrivere direttamente la soluzione, giusto? grazie ancora

esatto è proprio cosi. Ad esempio qui

[quote="exodd"]finale nazionale, livello junior

4)si vogliono tracciare in un piano delle rette in modo tale che tra loro si vengano a formare angoli di ciascuna delle seguenti misure: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 (gradi centigradi). Qual'è il più piccolo numero di rette che realizza questa richiesta?
(mostrane il disegno)

il problema ti chiede espressamente il disegno, quindi devi far vedere solo quello. In tutti gli altri casi devi mostrare come sei arrivato al risultato

Maioc92 ha scritto: In tutti gli altri casi devi mostrare come sei arrivato al risultato

Allora sono in guai veramente seri, dato che al risultato ci arrivo sempre un po' "alla brutta"

a dire il vero non sei l'unico.... ma a parte questo i problemi della finale del kangourou non è che mi piacciano tanto, preferisco la prima fase a risposte chiuse. Poi i problemi sembrano facili ma nn lo sono poi tanto....ad esempio quello dei punti e della circonferenza mi sembrava fattibile ma ancora non mi è venuto in mente niente. Comunque quando si è in 20 puoi anche prenderti il lusso di farlo nn tanto bene, male che vada arrivi 20 che non è un brutto risultato in ogni caso. Viva la filosofia del pensare positivo!!!!!!!!