OliForum Matematico

(in realtà se non ho capito male viene da una gara nazionale russa)

Dimostare che non esistono interi $ (k, m) $ non negativi tali per cui $ k!+48=48 \cdot (k+1)^m $

mmm che infame questo esercizio! c'è il 47 che rompe un po' le balle, allora ho chiesto un aiutino al caro computer, e guardate che bella fattorizzazione che ho trovato: 22115034632797133 * 361673892624894911 * 304948016756743701941
non ho mai visto tre primi di quelle dimensioni tutti insieme uscire da un esercizio

secondo me bisogna dividere per 48 e sfruttare il fatto che l' LHS è congruo ad 1 per un bel po' di moduli... ma sono attualmente troppo stanco e dovrei anche ripassare biologia per dmn... quindi a voi finire!

Visto che per una serie di anomale circostanze, mi è capitato di fare la simulazione di cesenatico di torino e non quella di roma, ecco come penso si concluda il caso k+1=47 in maniera un minimo più elegante:

Assurdo mod 22115034632797133 !!!

No, scherzo..

dopo passaggi algebrici hai $ \frac{46!}{48}=47^m-1 $

Ora, la roba a destra è divisibile per $ 2^{38} $ se non ho sbagliato i conti... Inoltre, modulo 4 si vede che m è pari. Per m pari, (si dimostra per induzione) vale che:

$ v_2(47^m-1)=v_2(m)+4 $

Quindi, visto che $ v_2(47^m-1)=38 $ abbiamo che $ 2^{34}|m $ che è assurdo perché in tal caso $ 47^m>\frac{46!}{48} $ (e anche piuttosto largamente...)

P.S. Mi sono appena accorto che nella soluzione che ho consegnato ho confuso qualcosa e mi sono venuti numeri diversi

P.P.S. Sapete i risultati della simulazione?

abbiamo capito il caso k+1=47...

la postate la soluzione o dobbiamo farli a mano tutti gli altri?

exodd ha scritto:abbiamo capito il caso k+1=47...

la postate la soluzione o dobbiamo farli a mano tutti gli altri?

Facendo solo cose ovvie riesci a risolvere tutti gli altri casi... I giovani d'oggi... Non sanno che nella vita (ma soprattutto nelle olimat) bisogna $ \mbox{LAVORARE}^3 $

$ k!+48=48(k+1)^m $
$ k!=48((k+1)^m-1) $
$ k!=48k((k+1)^{m-1}+\ldots+(k+1)+1) $
$ (k-1)!=48((k+1)^{m-1}+\ldots+(k+1)+1) $
Può essere un'idea (utile)?

exodd ha scritto:la postate la soluzione o dobbiamo farli a mano tutti gli altri?

mmm... mi obblighi a concordare con federiko97
Comunque s'è visto che il nodo non sta tanto in k quanto in k+1, e a destra abbiamo una cosa si direbbe essere divisibile per k+1, quindi indovina un po' che ragionamento bisognerà fare a sinistra.

Scusate ma questo è davvero tosto: anche dopo aver letto le vostre soluzioni non l'ho capito...

Comunque (per Piever):

Risultati simulazione di Torino (vado un po' a memoria)

1. Federico Stra - 31 punti (oro)
2. Yang Shuyi - 19 punti (argento)
3. Edoardo D'Urso (io) - 18 punti (argento)
4. Filippo Corradino - 15 punti (bronzo)
5. Andrea Stragiotti - 12 punti (bronzo)
6. (non ricordo il nome) Gorelli - 12 punti (bronzo)
7. Francesco Veronese - 12 punti (menzione d'onore)

Gli altri non li ricordo (ho già fatto una fatica immensa a ricordare questi... )

In realtà mancavano 2 "pezzi grossi": Fabio Bioletto e Kirill Kuzmin, quindi tutte le posizioni, tranne (forse) quella di FeddyStra, andrebbero abbassate di 2.

se volessimo autosimularcici, sarebbe possibile trovare i testi?

julio14 ha scritto:se volessimo autosimularcici, sarebbe possibile trovare i testi?

Intendi i testi della nostra simulazione?

oh yes

Io ce li ho ma solo in formato cartaceo (e non ho lo scanner... )

Prova a chiedere a Piever che dovrebbe averli.