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Per la disuguaglianza di riarrangiamento sappiamo che se due n-uple $ a_1\leq\cdots\leq a_n $ e $ b_1\leq\cdots\leq b_n $ allora
$ \displaystyle\sum a_ib_{\sigma(i)}\leq \sum a_ib_i $.

Ciò si può dimostrare supponendo di "scambiare di posto" $ b_x $ e $ b_y $ con $ x>y $ e verificando che il segno della differenza tra la sommatoria con le n-uple correttamente ordinate e la sommatoria dopo questo scambio dipende dal segno di $ (b_x-b_y) $.

Come si può dimostrare questa disuguaglianza per più n-uple, ad esempio per n=3:
$ \displaystyle\sum a_ib_{\sigma(i)}c_{\phi(i)}\leq \sum a_ib_ic_i $
E' una disuguaglianza nota?

p.s.: con $ \sigma(i),\phi(i) $ indico due permutazioni degli indici di i

Purtroppo adotti una notazione un po' balorda, perché usi n per indicare 2 cose diverse. Allora per capirci diciamo che abbiamo k n-uple di reali $ ~\displaystyle x_{i,j} $, con $ ~\displaystyle x_{i,1}\leq x_{i,2}\leq \cdots \leq x_{i,n} $, per ogni i compreso tra 1 e k.

Se vogliamo il massimo di

$ ~\displaystyle \sum_{j=1}^n \prod_{i=1}^k x_{i,\sigma_i(j)} $

calcolato su tutte le k-uple di permutazioni $ ~\displaystyle \sigma_i $ di {1, ..., n}, possiamo sempre ridurci al caso n=2, come hai fatto tu quando k=2, ovvero nel caso del riarrangiamento standard. Il caso n=2 funziona perché, dato

$ ~\displaystyle \prod_{i=1}^k x_{i,\sigma_i(1)}+\prod_{i=1}^k x_{i,\sigma_i(2)} $,

puoi raggruppare in un solo $ ~\displaystyle a_1 $ il prodotto di tutti gli $ ~\displaystyle x_{i,1} $ tali che $ ~\displaystyle \sigma_i $ è l'identità, ed in $ ~\displaystyle a_2 $ il prodotto degli $ ~\displaystyle x_{i,2} $, per gli stessi i. Per gli altri i, costruisci $ ~\displaystyle b_1 $ e $ ~\displaystyle b_2 $ nello stesso modo, e ti riconduci quindi al caso k=2.
Ora che ce l'hai per coppie di addendi, puoi andare avanti a spostare verso destra nella sommatoria a n addendi, come facevi per il caso k=2. Ovvero, prendendo 2 addendi qualsiasi, riordini i fattori di ognuno mettendo grandi con grandi e piccoli con piccoli. Vedi facilmente che hai mosse possibili finché tutti gli x sono arrangiati nel modo giusto, e che questa situazione si raggiunge dopo un numero finito di mosse, indipendentemente dalla loro sequenza. Se non ci credi, definisci un opportuno monovariante basato sulle distanze degli indici...

Tutto questo vale per l'arrangiamento di "valore" massimo. Per il minimo non ho una risposta pronta, e la cosa pare a prima vista molto più complicata. Penso però che con un po' di matrici e teoria poco elementare si possa tirare fuori una qualche caratterizzazione degli arrangiamenti minimi, ma per questo devi tentare la sorte in MNE (dove io non saprò comunque risponderti).

Ho capito. Grazie mille.