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Prendete alcuni interi positivi, scegliete due di loro a e b, e sostituiteli con gcd(a,b) e lcm(a,b). Così facendo formate un nuovo insieme di numeri positivi in cui tutti i numeri sono uguali a quelli dell'insieme di partenza tranne a e b che sono stati cambiati. Prendete questo nuovo insieme e ripetete lo stesso processo, così fino all'infinito.
Dire se da un certo punto in poi i numeri smetteranno di cambiare.

Secondo me molto carino e semplice

Si, smetteranno di cambiare. Solo ho qualche problema a generalizzare

Se vuoi puoi sempre postare dove sei arrivato/a

Allora... Provo a postare la prima idea che mi è venuta in mente: poichè $ GCD(a,b) \cdot LCM(a,b)= a \cdot b $, il prodotto dei numeri è un'invariante del problema.

Ok, è davvero poco però devo studiare quella dannata letteratura inglese, quindi cedo la palla!

Ok, l'invariante va bene... ora cerca una cosa che varia, ma varia bene

Provo un'altra via.

Caso A: I numeri sono a due a due primi tra loro.
Dopo una certa serie di passaggi si otterranno tanti "uni" e un numero uguale al prodotto dei numeri iniziali.

Caso B: i numeri non sono a due a due primi tra loro.
Dopo un certo numero di passaggi avremo tanti numeri uguali al GCD di tutti i numeri e un numero uguale al LCM.

In entrambi i casi presa una qualunque coppia a questo punto si avrà sempre $ GCD(a,b)=GCD $ di tutti i numeri e $ LCM(a,b)=x $ dove x è il numero più grande che dicevo prima.

Soluzione molto sbrigativa e informale...
Sarà almeno corretta?

Thebear ha scritto:Caso B: i numeri non sono a due a due primi tra loro.
Dopo un certo numero di passaggi avremo tanti numeri uguali al GCD di tutti i numeri e un numero uguale al LCM.

Questo come lo giustifichi? (pensa per esempio a 6;6;12;12)

julio14 ha scritto:

Thebear ha scritto:Caso B: i numeri non sono a due a due primi tra loro.
Dopo un certo numero di passaggi avremo tanti numeri uguali al GCD di tutti i numeri e un numero uguale al LCM.

Questo come lo giustifichi? (pensa per esempio a 6;6;12;12)

Forse si può correggere dicendo che alcuni numeri saranno uguali al GCD, tutti gli altri al LCM

Dimostra che non ci sono altri casi
(cmq, se la soluzione che pensa mod_2 è la stessa che penso io, è molto più carina )

si vede molto facilmente che dato un insieme di $ ~x_i $ operando quella trasformazione sia avra' sempre $ ~GCD(\{x_i\})\leq x_j\leq lcm(\{x_i\}) $

wlog $ ~GCD(\{x_i\})=1 $
la molteplicita' di un numero e' invariante: se alla partenza ho n numeri uguali allora anche alla fine avro' n numeri uguali. Simmetria

cmq una volta che $ ~x_j=lcm(\{x_i\}) $, si puo' escludere