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Sia $ \displaystyle P_a (x) = a x^4 + 4 \sqrt{a} x^3 +4x^2 -1 $. Determinare i valori di $ \displaystyle a \in R $ per cui $ \displaystyle P_a (x) $ ha esattamente 4 radici reali distinte.


La difficoltà secondo me potrebbe essere quella di un esercizio 1 di Cesenatico abbastanza facile.

$ ax^4+4\sqrt {a}x^3+4x^2-1=x^2(\sqrt {a}x+2)^2-1=(\sqrt {a}x^2+2x+1)(\sqrt {a}x^2+2x-1) $, il secondo membro, essendo $ \Delta>0, \forall a\geq 0 $, ha sempre due radici reali distinte, il primo membro impone la condizione $ 4-4\sqrt {a}> 0\rightarrow 1>a>0 $. In conclusione $ 1>a>0 $.