OliForum Matematico

Siano a, b, c numeri reali non negativi tali che
$ $a^2+b^2+c^2+abc=4$ $
Dimostrare che
$ $0 \le ab+bc+ca-abc \le 2$ $

Buon lavoro!

da quanto tempo non lavoravo con le medie!


$ 3*(abc)^{2/3} \le ab+bc+ca $ (AM-GM)

$ abc \le 3*(abc)^{2/3} $

$ abc \le 27 $

$ 4-(a^2+b^2+c^2) \le 27 $

$ -(a^2+b^2+c^2) \le 23 $ (vera)

se aspetti un attimo vedo per la 2° parte..

con la disuguaglianza am<=qm sono arrivato a dire che 0<=ab +ac+bc+abc<=4, poi con gm-am ho trovato che abc<=1 poi però mi sn bloccato....vabbè ci ripenserò domani

Seconda parte:
$ ab+bc+ca-abc\leq 2 $
$ 2(ab+bc+ca-abc)\leq 4= a^2+b^2+c^2+abc $
$ 0\leq (a+b+c)^2+3abc $ vera.

antosecret ha scritto:Seconda parte:
$ ab+bc+ca-abc\leq 2 $
$ 2(ab+bc+ca-abc)\leq 4= a^2+b^2+c^2+abc $
$ 0\leq (a+b+c)^2+3abc $ vera.

non ti seguo... i segni meno dove sono spariti?

mod_2 ha scritto:

antosecret ha scritto:Seconda parte:
$ ab+bc+ca-abc\leq 2 $
$ 2(ab+bc+ca-abc)\leq 4= a^2+b^2+c^2+abc $
$ 0\leq (a+b+c)^2+3abc $ vera.

non ti seguo... i segni meno dove sono spariti?

Hai ragione... avevo fatto un errore di segno nei conti...

Edit: troppe stupidaggini per la stessa serata.

antosecret ha scritto:$ 4-2abc\leq2 \rightarrow 0\leq abc $

Meglio prima
edit: tranquillo ci pensi meglio domani

A questo punto mi rendo conto che sto ancora dormendo dopo il ponte del primo maggio e non posso far altro che andare a dormire...
Che figura...

mod_2 ha scritto:Siano $ a,b,c>0 $ t.c. $ f(a,b,c)=4 $ allora $ 0 \le g(a,b,c) \le 2 $, dove $ f(a,b,c)=\sum_{cyc}{a^2}+abc $ e $ g(a,b,c)=\sum_{cyc}{ab}-abc $

Parte 1.Non negatività
Wlog $ \min\{a,b,c\}=a \le 1 $ (altrimenti $ f(a,b,c)>4 $) allora $ g(a,b,c) \ge bc-abc \ge 0 $.


Parte 2.Bound superiore
Lemma1(identità).Se $ f(a,b,c)=4 $ allora esistono $ 0 \le z \le y \le x \le \frac{\pi}{2} $ t.c.$ x+y+z=\pi $ e $ a=2\cos{x} $ e cicliche.
Lemma2(jensen).$ f(\cdot) $ è concava in $ [0,\frac{\pi}{2}] $ per cui $ a+b+c \le 3 $.
Per quanto detto vale:
$ \frac{1}{4}g(a,b,c)=\sum_{cyc}{\cos{x}\cos{y}}-2\cos{x}\cos{y}\cos{z}= $ $ \cos{x}(\cos{y}+\cos{z})+\cos{y}\cos{z}(1-2\cos{x}) $ $ \le \cos{x} (\frac{3}{2}-\cos{x})+ \frac{1-\cos{x}}{2}(1-2\cos{x})=\frac{1}{2} $.

Bravo jordan!
Dalla regia mi dicono che il problema può essere fatto anche con il lemma abc, qualcuno vuole provare?

Parte1 (lemma abc, suggerito da mod_2). Riduzione a 2 variabili.
Wlog $ 0 \le a \le b \le c $ per cui vale $ (b-c)(a+c) \le 0 \le ac(b-a) $ se e solo se $ g(a,b,c) \le g(a,a,c) $.

Parte2. Riduzione a 1 variabile.
Per ipotesi $ a \le c $ e $ f(a,a,c)=4 \implies a^2=\frac{4-c^2}{c+2} $.
Allora $ g(a,a,c)=a^2+2ac-a^2c=(a+c)^2-c^2-(4-2a^2-c^2) \le 2(a^2+c^2)-4+2a^2 $ con uguaglianza solo se $ a=c \implies a^2=c^2 \implies c(c-1)(c-4)=0 $, ma se $ c \in \{0,4\} $ allora $ f(a,b,c) \neq 4 $.
Per cui $ g(a,b,c) $ è massimo se e solo se $ a=b=c=1 $.

Ps. dedicato a darkxifrit

Perdonami jordan ma non ho capito troppo la tua ultima dimostrazione... cosa vuoi dimostrare step per step??

Essì, scusatemi tutti (in primis per il ritardo)..
Il finale della mia seconda parte è sbagliato..(o almeno, non dimostra la tesi ), addirittura non ho manco semplificato la frazione di $ a^2 $.. comunque per riprendere il discorso di prima, la parte 1) dovrebbe essere giusta: per la seconda dobbiamo verificare che $ a^2+2ac-a^2c-2 \le 0 $ per ogni $ 0 \le a \le c $ tali che $ c=2-a^2 $. Adesso $ 0 \le a \le 1 $ per cui dobbiamo verificare che $ a^4-2a^3-a^2+4a-2 \le 0 $ per ogni $ 0 \le a \le 1 $. Ciò è vero e si ha uguaglianza solo se $ a=1 $, che è la tesi, ma per il dimostrare con metodi elementari la sua crescenza in (0,1) non mi pare cosi ovvio qualche idea? (oltre che derivare due volte..)
ps. grazie per la correzione!