OliForum Matematico

La descrizione del solitario in questione la potete trovare qui, chiedete (ovviamente) per eventuali chiarimenti.
La domanda è: qual è la probabilità di riuscita del solitario? (non è detto che la soluzione da me trovata sia corretta)

Ma lo sai che mi hai fregato sul tempo?? Poco tempo fa ho visto i miei compagni di classe giocarci e avevo pensato di postarlo sul forum...ma poi per la mancanza di tempo non l'ho più fatto
Comunque a prima vista direi che i casi favorevoli sono $ {4}\cdot{39!} $, dato che per vincere basta che esca un re come ultima carta, e le altre 39 in qualsiasi ordine.
I casi possibili $ 40! $
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \frac{{4}\cdot{39!}}{40!}=\frac{4}{40}=\frac{1}{10} $
Oppure in maniera ancora più semplice, basta che l'ultima carta sia un re, e questa carta la possiamo scegliere in 4 modi su 40, quindi $ \frac{4}{40}=\frac{1}{10} $

Non è proprio così semplice...

Hint: cosa succede quando una carta si trova voltata ma già nella giusta posizione?

Aspetta, forse non mi è chiara qualche regola...
Potresti spiegarti meglio?
1)Se ad esempio noi abbiamo in mano il 4 di bastoni, e giriamo la carta dove deve andare il 4, lì ce ne sarà una che andrà in una posizione diversa.
2)Se giriamo un 10 mettiamo questo nella sua posizione e prendiamo un'altra fra le 4 iniziali, e quindi ci riconduciamo al caso 1.
Come è possibile trovare una carta già nella giusta posizione

Se il 4 di bastoni si trova dove andrebbe posto, non lo potrai mai voltare, perché non troverai mai la carta che va posta lì, cioè proprio il 4 di bastoni. Dunque puoi mettere al giusto posto tutte le carte tranne il 4 di bastoni, che rimarrà coperto nella giusta posizione

pak-man ha scritto:Dunque puoi mettere al giusto posto tutte le carte tranne il 4 di bastoni, che rimarrà coperto nella giusta posizione

Sarò io una testa calda, ma se metti al giusto posto tutte le carte tranne il 4, avrai posizionato anche i 4 10 e quindi perso

iademarco ha scritto:se metti al giusto posto tutte le carte tranne il 4, avrai posizionato anche i 4 10 e quindi perso

Esattamente

E questo non rientra nei miei casi sfavorevoli? Comunque i 4 dieci vengono "estratti" fra le prime 39 carte

iademarco ha scritto:E questo non rientra nei miei casi sfavorevoli? Comunque i 4 dieci vengono "estratti" fra le prime 39 carte

Uhm...mi hai fatto venire un dubbio. Più tardi posto con calma la mia soluzione.

(che sarà sbagliata...bonus question: qual è la probabilità che sia sbagliata? )

Ecco la soluzione che ho trovato:

Posizioniamo le quattro carte del tallone a formare un'ultima colonna a destra (una di queste, poniamo quella più in basso, sarà la carta iniziale).
Consideriamo un grafo con 40 nodi (numerati) e 40 archi che collegano ognuno due nodi in modo da avere una disposizione "circolare" (questa considerazione serve solo a fare una spiegazione decente, non implicherà nulla di strano).
Mettendo una carta in ogni nodo otteniamo una sequenza in cui ogni arco collega (poniamo wlog in senso orario) una carta a quella che si trova nella sua posizione corretta (quella in cui andrebbe messa).
Se al nodo 40 c'è un re, abbiamo una sequenza di gioco vincente.

Ora per considerare i casi in cui si perde, eliminiamo dal grafo un numero pari di archi: otteniamo nodi isolati (carte che si trovano già coperte al loro posto) e cicli di carte che non potranno mai essere voltate (e.g. il 2 di bastoni si trova al posto del 3 di coppe che si trova al posto del 2 di bastoni).

In questo modo sono coperti (in teoria) tutti i casi possibili, che sono dunque $ $40!\sum_{i=0}^{20}{40\choose2i} $

Poiché le possibilità favorevoli sono $ 4\cdot39! $ (grafo connesso con un re al posto 40), la probabilità è
$ $\frac{4\cdot39!}{40!\displaystyle\sum_{i=0}^{20}{40\choose2i}}=\frac{1}{10\displaystyle\sum_{i=0}^{20}{40\choose2i}} $

Spero che si riesca a capire il ragionamento un po' contorto^^