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Sia $ p $ un primo tale che $ 4 \mid p+1 $.

Mostrare che per ogni $ n $ intero non negativo il numero $ p^{(p^n)}+1 $ è il prodotto di almeno $ 2n+1 $ fattori primi (non necessariamente distinti).


(Esempio:24 è il prodotto di 4 fattori primi)

Induzione!
per $ n=1 $ la tesi è verificata perchè chiaramente $ p^p+1=(p+1)(1-p+\cdots+p^{p-1}) $ ha più di tre fattori primi.
Al passo $ n+1 $ si ha $ p^{p^{n+1}}+1=(p^{p^n})^p+1=(p^{p^n}+1)q(p^n) $, con $ \displaystyle q(x)=1-x+\cdots+x^{p-1}=\frac{x^p+1}{x+1} $;
per ipotesi induttiva il primo fattore ha un numero di fattori primi $ \ge 2n+1 $, basterebbe dimostrare che $ q(p^{p^n}) $ è composto per $ n>1 $.
Osservo ora che $ q(x)|q(x^{p^n}) $ in quanto le radici di $ q(x) $, ovvero le radici p-esime di -1 (del tipo $ \displaystyle e^{i(\frac{\pi+2k\pi}{p})} $), sono pure radici di $ q(x^{p^n}) $
ossia le radici $ p^{n+1} $-esime di -1 (del genere $ \displaystyle e^{i(\frac{\pi+2k\pi}{p^{n+1}} $), quindi il polinomio si scompone in almeno due fattori ergo il numero di divisori primi di $ p^{p^{n+1}}+1 $
è almeno $ 2n+1+2=2n+3 $ (ho qualche dubbio sulla legittimità dell'ultimo passo...).

travelsga ha scritto:Induzione!

E' un'idea..

travelsga ha scritto:per $ n=1 $ [...] chiaramente $ p^p+1=(p+1)(1-p+\cdots+p^{p-1}) $ ha più di tre fattori primi.

Per $ p=3 $ ne ha esattamente 3..

travelsga ha scritto:Al passo $ n+1 $ si ha $ p^{p^{n+1}}+1=(p^{p^n})^p+1=(p^{p^n}+1)q(p^n) $, con $ \displaystyle q(x)=1-x+\cdots+x^{p-1}=\frac{x^p+1}{x+1} $

Sbaglio o intendi $ q(p^{p^n}) $?

travelsga ha scritto:Osservo ora che $ q(x)|q(x^{p^n}) $[...]

Ne sei sicuro? $ 1-x+x^2 \mid 1-x^3+x^6 $

Ne sei sicuro? $ 1-x+x^2 \mid 1-x^3+x^6 $

Effettivamente quando divido per $ x^{p^n}+1 $ perdo un mucchio di radici.