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Trovare tutti i polinomi p(x) a coefficienti complessi tali che per ogni terna di interi (a,b,c) con somma non nulla vale: a+b+c| p(a)+p(b)+p(c).


(TST Cina 2009)

magari sto sparando un'enorme assurdità, ma non sono solo quelli del tipo ax?

"Trovare" vuol dire "Trovare e dimostrare"...

questo lo so è che prima di postare il ragionamento volevo sapere se era giusto per evitare di scrivere troppe bestialità in 1 colpo solo.....

Grazie pig

@Maioc, tentar non nuoce

ok allora ci provo:
se a+b+c/P(a)+P(b)+P(c) allora P(a)+P(b)+P(c)=(a+b+c)*t, ovvero deve essere t=P(a)/a=P(b)/b=P(c)/c
Da questo ricaviamo che p(x) deve essere del tipo kx
Però cosi sembra troppo semplice quindi ho di sicuro sbagliato qualcosa.....

Maioc92 ha scritto:P(a)+P(b)+P(c)=(a+b+c)*t, ovvero deve essere t=P(a)/a=P(b)/b=P(c)/c

Non è una implicazione..

jordan ha scritto:

Maioc92 ha scritto:P(a)+P(b)+P(c)=(a+b+c)*t, ovvero deve essere t=P(a)/a=P(b)/b=P(c)/c

Non è una implicazione..

Immaginavo non fosse giusto....ma puoi spiegare perchè?

Un esempio: P(x)=x+3, allora 1+2+6 | P(1)+P(2)+P(6), ma P(1)/1 è diverso da P(2)/2..

però questo è 1 caso particolare....non vale per qualsiasi terna

E anche tu hai fatto solo un caso particolare: chi ti assicura che non ci siano altri polinomi (a coefficienti complessi) che soddisfano la tesi?

ho ripescato questo problema per caso e voglio scrivere una soluzione decente, per rimediare alle schifezze che ho scritto un po' di mesi fa
Innanzitutto dimostro che P(0)=0, infatti prendendo a=b=c ho che $ 3a|3P(a) $, da cui si conclude che $ P(x)=xQ(x) $ (se non fosse cosi prendendo a abbastanza grande avremmo un assurdo). Ora per ipotesi ho che $ a+b+c|P(a)+P(b)+P(c) $ e $ a+b+c=(a+b)+c+0|P(a+b)+P(c)+P(0) $. Poichè a+b+c divide entrambe le scritture, dividerà anche la loro differenza, ovvero $ a+b+c|P(a)+P(b)-P(a+b) $. A questo punto si può concludere che $ P(a)+P(b)-P(a+b) $ è sempre nullo: se esistessero a,b tali che $ P(a)+P(b)-P(a+b)\ne 0 $, potremmo scegliere c in modo tale da trovare un assurdo. Infatti $ P(a)+P(b)-P(a+b) $ rimane costante, mentre c può crescere indefinitamente, da cui l'assurdo. Quindi $ P(a+b)=P(a)+P(b) $ per ogni a,b. Ponendo a=b e facendo semplici considerazione sul coefficiente direttivo, si esclude che il grado di P(x) sia $ \ge 2 $, quindi $ P(x)=ax $. é semplice verificare che tutti i polinomi di questo tipo soddisfano l'ipotesi.
Spero possa andare bene

Good