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Provare che esistono infiniti interi positivi $ n $ tali che $ \phi(n-\phi(n))>\phi(n) $, dove $ \phi(x) $ rappresenta il numero di interi positivi $ \le x $ e coprimi con $ x $.

Qui $ \phi(\cdot) $ rappresenta la funzione di Eulero.

Sia $ n=3\cdot5\cdot2^k $ con $ k\in\mathbb N^+ $.
Allora $ \phi(n)=4\cdot2^k $, quindi $ n-\phi(n)=11\cdot2^k $ e di conseguenza $ \phi(n-\phi(n))=5\cdot2^k>4\cdot2^k=\phi(n) $.

Quindi se $ n=3\cdot5\cdot2^k $, allora $ \phi(n-\phi(n))>\phi(n) $.

Rilancio il problema:
provare che esistono infiniti interi positivi $ n $ tali che $ 5\phi(n-\phi(n))>7\phi(n) $.

idem con $ $3\cdot 5\cdot 17\cdot 2^k $

Rilancio:
Sia S l'insieme degli interi positivi tali che se un primo p<2009 divide un elemento n di S allora $ p^{2009} $ non divide n.
Allora esistono infiniti n in S tali che $ 20\phi(n-\phi(n))>29\phi(n) $

(Julio14 escluso )