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Mostare che $ \sqrt{\frac{1998+2a^2}{3}} \notin \mathbb{N} , \forall a \in \mathbb{N} $

Giulius ha scritto:Mostare che $ \sqrt{\frac{1998+2a^2}{3}} \notin \mathbb{N} , \forall a \in \mathbb{N} $

Per assurdo, supponiamo che sia vero il contrario. Allora $ 1998+2a^2=3b^2 $, cioe' esiste almeno una soluzione della seguente diofantea $ 1998=3b^2-2a^2 $. $ 1998 $ e' divisibile per $ 3 $ e per $ 2 $, quindi $ a=3a' $ e $ b=2b' $, cioe', dopo alcune semplificazioni, $ 333=2b'^2-3a'^2 $. Di nuovo, $ 333 $ e' divisibile per $ 9 $, allora $ b'=3b'' $ e $ a''=3a' $ e quindi $ 37=2b''^2-3a''^2 $.

Ora $ b'' $ non puo' essere divisibile per $ 3 $, altrimenti lo sarebbe anche $ 37 $, quindi $ b''^2\equiv 1 \pmod{3} $, ma allora $ 37\equiv 2 \pmod{3} $. Assurdo