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Siano $ \Gamma_1 $ e $ \Gamma_2 $ due circonferenze che si intersecano in $ A $ e $ B $. Sia inoltre $ CD $ una retta passante per $ A $ con $ C\in\Gamma_1 $ e $ D\in\Gamma_2 $. Sia $ O $ il circocentro [l'ortocentro] del triangolo $ BCD $ e $ P $ il punto simmetrico di $ O $ rispetto alla retta $ CD $. Determinare il luogo di $ P $ al variare della retta $ CD $.


EDIT: corretto ortocentro in circocentro.

Sia CD la perpendicolare per A ad AB ( vedi figura).Le rette
BD e BC taglino $ \Gamma_1 ,\Gamma_2 $ in N ed M rispettivamente
e sia O l'intersezione di CN e DM.Dico che la circonfertenza $ \gamma $
di diametro BO è il luogo degli ortocentri dei triangoli BCD al variare di AB
nel fascio di centro A .A tale scopo cominciamo con l'osservare che ,essendo retti gli
angoli CAB e DAB,lo sono pure gli angoli CNB e DMB il che prova che CN,DM
e AB sono le altezze del triangolo BCD e dunque O ne è l'ortocentro .
Sia ora C'D' la generica retta del fascio (A) inclinata di un angolo $ \alpha $
rispetto a CD ed O' l'intersezione della perpendicolare BA' da B a C'D'.
Congiunti O' e C' con N si vede che CNC'=CAC'=$ \alpha $,O'NO=O'BO=$ \alpha $,e poiché
i punti C,N,O sono allineato lo saranno pure i punti C',N,O'.Analogamente
per i punti D',M,O'.
Ciò fatto,detta L l'ntersezione di D'B e C'N,abbiamo:
C'LB=LNB+LBN=$ 90°-\alpha+\alpha=90° $ e quindi C'L è l'altezza del
triangolo BC'D' relativa al lato BD'.D'altra parte BA' è l'altezza relativa al lato D'C'
e pertanto O' è l'ortocentro di BC'D'.
Il luogo richiesto, e cioé quello dei simmetrici degli ortocentri O rispetto alle rette
variabili del fascio (A), dai miei calcoli risulta essere una cubica e credo che
il quesito si possa fermare alla richiesta del luogo dei punti O.

Ooooppsss!!!
Ehm... sì... certo... quello che dici è correttissimo...
Peccato che io non sappia più i nomi dei punti notevoli del triangolo!!!

Io ha scritto:Sia $ O $ l'ortocentro...

Ecco... la mia intenzione era scrivere circocentro... del resto la $ O $ lo suggeriva... no?
Scusate per il pasticcio.

Avevo pensato che ci fosse stato qualche scambio di termini ma anche il luogo degli ortocentri non è poi male.Anzi...

Certo, ma neanche quello del circocentro è male.
Qualcuno provi a farlo.

@karl: a me torna torna una crf anche nel caso dell'ortocentro

@Gabriel
Si vede che ho sbagliato calcoli sebbene li abbia fatti più volte in vari casi particolari .Oppure la cubica è riducibile e si spezza in una retta e in una circonferenza.Per i circocentri ho trovato che il luogo dei circocentri è la circonferenza passante per i centri delle due circonferenze date e per il punto B.Per il luogo effettivamente richiesto mi trovo nella stessa situazione degli ortocentri e quindi aspetto... altre soluzioni .