OliForum Matematico

E' data in un piano cartesiano la parabola di equazione $ y = x^2 $. Determinare le coordinate del punto appartenente a questa parabola che minimizza la distanza dal punto di coordinate $ (-1;2) $

nn mi sembra tanto "olimpico" qsto problema, a meno ke tu nn lo sappia fare senza le derivate..

Jacobi ha scritto:nn mi sembra tanto "olimpico" qsto problema

L'ho letto nel libro "La matematica del Club Olimpico Kangourou"

ahh ok!! errore mio..

anche io in quel libro ho trovato un equazione di 3 grado che non si risolveva in modo olimpico ma richiedeva cardano (e anch'io l'ho postata). Secondo me qua nn c'è altro modo che derivare anche se forse mi sbaglio.
E' il libro che è un po' 1 miscuglio forse....

EDIT: scusate per la bestialità, ma sul momento non ci ho pensato troppo

Maioc92 ha scritto:anche io in quel libro ho trovato un equazione di 3 grado che non si risolveva in modo olimpico ma richiedeva cardano (e anch'io l'ho postata). Secondo me qua nn c'è altro modo che derivare anche se forse mi sbaglio.
E' il libro che è un po' 1 miscuglio forse....

Le derivate le conosco soltanto di nome,eppure ho risolto questo problema,e la soluzione coincide con quella del libro,che stranamente non riporta il procedimento come fa di solito. Sembra incredibile,ma nel mio procedimento (che posterò più tardi,dato che ora non ho il tempo di farlo) è comparsa un'equazione di 3° grado (che ho risolto con un po' di fortuna)

appunto l'equazione di 3 grado dovresti ottenerla derivando e ponendo la derivata uguale a 0. Allora nn so però onestamente in questo caso credo che derivare sia il metodo più veloce. Ma alle olimpiadi si può fare, o almeno lo si può fare per funzioni di forma polinomiale che sono le più semplici?

Comunque in effetti potresti anche trovare la tangente generica ala curva e porre il prodotto del suo coefficiente angolare e di quello della retta passante per il punto di tangenza e per il punto -1,2 uguale a -1.

Ma per sapere la pendenza della tangente a una parabola in un punto, non ci vorranno mica le derivate...

infatti ho corretto. Però diventa inutilmente lungo.....

Maioc92 ha scritto: Comunque in effetti potresti anche trovare la tangente generica ala curva e porre il prodotto del suo coefficiente angolare e di quello della retta passante per il punto di tangenza e per il punto -1,2 uguale a -1. Però diventa inutilmente lungo

Hai scritto due cose praticamente uguali.

CoNVeRGe. ha scritto: Hai scritto due cose praticamente uguali.

In che senso?

No scusami, sono stato io a spararla. Credevo di aver visto qualcosa di sbagliato nell'impostazione ma mi son sbagliato..

Oltre a poter imporre la perpendicolarità in quel punto, si potrebbe anche calcolare la distanza generica, oppure prendere una circonferenza generica che abbia centro nel punto dato e trovareintersezioni/imporretangenza con la parabola.

Escono tutte robe di terzo o quarto grado ma sfruttandole insieme magari si caccia qualcosa, uhm..

CoNVeRGe. ha scritto:si potrebbe anche calcolare la distanza generica

però dopo devi minimizzarla e ti servono le derivate

L'uso delle derivate è evitabile con una nota proprietà della parabola:
Il raggio incidente su di una parabola e parallelo al suo asse si riflette
passando per il fuoco.
Ciò significa ( vedi figura) che il raggio s=LQ , parallelo all'asse RF, si riflette passando per il fuoco F
in modo tale che la normale QP alla tangente t sia bisettrice dell'angolo LQF.
E dunque le distanze PM e PN da QL e QF devono essere uguali:
(1) PM=PN
Ora,se Q è il punto della parabola che realizza il minimo richiesto,poniamo:
F(0,1/4) ,P(-1,2),Q(x,x^2)
(0) $ \displaystyle f(x)=\bar{PQ^2}=(x+1)^2+(x^2-2)^2 $
Con calcoli elementari ( che vi risparmio) si trova che :
$ \displaystyle \bar{PM}=|x+1| $
$ \displaystyle \bar{PN}=\frac{|4x^2+7x-1|}{4x^2+1} $
Sostituendo in (1) si ha l'equazione :
$ \displaystyle |x+1|(4x^2+1)=|4x^2+7x-1| $
Ovvero:
$ \displaystyle (x+1)(4x^2+1)=\pm(4x^2+7x-1) $
Separando i due segni si hanno le due equazioni:
$ \displaystyle x^3-2x^2+2x=0 $
$ \displaystyle 2x^3-3x+1=0 $
Di queste ,la prima ha la sola radice reale $ \displaystyle x_o=0 $ mentre le radici della seconda sono:
$ \displaystyle x_1=\frac{-1-\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},x_3=1 $
Sostituendo tali valori in (0) si vede che la x_1 corrisponde al minimo richiesto.Pertanto si ha:
$ \displaystyle Q(\frac{-1-\sqrt{3}}{2},\frac{2+\sqrt{3}}{2}) $
$ \displaystyle \bar{PQ}_{min}=\frac{1}{2}\sqrt{11-6\sqrt{3}} $
E' ...consolante verificare che l'equazione $ \displaystyle 2x^3-3x+1=0 $ è esattamente
quella che si trova con le derivate.Infatti la funzione da minimizzare è:
$ \displaystyle f(x)=\bar{PQ^2}=(x+1)^2+(x^2-2)^2 $
la cui derivata ( rispetto ad x) è:
$ \displaystyle f'(x)=2(x+1)+4x(x^2-2)=2(2x^3-3x+1) $
Ed eguagliando a zero si trova appunto $ \displaystyle 2x^3-3x+1=0 $

Posso dire una cazzata? Prendiamo un fascio di circonferenze concentriche di centro (-1, 2). Il punto d'intersezione tra la circonferenza tangente alla parabola e la parabola stessa ha la distanza minima. O no?