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Un rettangolo puo' essere suddiviso in $ n $ quadrati. Inoltre, lo stesso rettangolo puo' essere anche suddiviso in $ n+76 $ quadrati piu' piccoli. Trovare $ n $.

moooooolto bello!!!

A me sembra invece molto brutto, per lo meno nella formulazione.
Prima che la cosa vada troppo lontano, geda: gli n quadrati di cui parli sono tutti congruenti? E lo stesso vale per gli n+76? In caso contrario, cosa intendi per "più piccoli"?

Si, si parla di quadrati tutti congruenti fra di loro. Va da se che nel secondo caso, quello con "$ n+76 $", i quadrati (tutti congruenti fra loro) devono essere necessariamente piu' "piccoli" (area minore) rispetto a quelli del primo caso, quello con "$ n $". E' chiaro adesso?

Improvvisamente è chiaro.

direi da lasciare ai principianti

io farei cosi sperando sia giusto:
siano $ a $ e $ b $ i 2 interi positivi tali che, detti $ B,h,l $ rispettivamente la base e l'altezza del rettangolo e il lato dei quadrati, $ al=B $ e $ bl=h $
A questo punto abbiamo che
$ n=ab $
$ n+76=\frac m {k}a*\frac m {k}b=\frac {m^2} {k^2}ab $ con m e k interi positivi primi tra loro
Per riduzione otteniamo $ (\frac {m^2} {k^2}-1)ab=76 $, ovvero $ (m+k)(m-k)ab=76k^2 $
Poichè m e k sono primi, lo saranno anche $ (m+k),(m-k) $ e $ k^2 $
Quindi $ (m+k)(m-k) $ divide 76
Tenendo conto del fatto che $ m+k+m-k=2m $ deve essere pari e che $ m+k>m-k $ abbiamo solo 2 possibili sistemi:
$ m+k=19 $
$ m-k=1 $

$ m+k=38 $
$ m-k=2 $
Risolvendo e sostituendo troviamo in entrambi i casi:
$ ab=324\rightarrow n=ab=324 $

A dire il vero mi rimane la sensazione di essermi complicato la vita ma questa è la prima soluzione che ho trovato.
PS:scusate se sono sintetico ma anche cosi ci ho messo quasi mezz'ora a scrivere la soluzione....scrivere in latex non è facile come avevate detto.....

piu' semplice
$ ~nl^2=(n+76)(l-k)^2 $
da cui
$ $n=\frac{76(l-k)^2}{k(2l-k)} $

Allora.
Il lato di un quadratino del primo caso è l = $ \sqrt{bh/n} $, nel secondo i = $ \sqrt{bh/(n + 76)} $. Supponiamo che invece il lato del quadrato sia costante. L'area del secondo rettangolo aumenta. In particolare, il rapporto tra la base con area n e quella con area n + 76 (e vale anche per le altezze), è $ \sqrt{n(n + 76)}/(n + 76) $, ovvero $ \sqrt{n/(n + 76)} $. Tale rapporto è, ovviamente, un intero, perché è anche il rapporto tra i numeri dei quadratini contenuti nelle basi e nelle altezze. Dobbiamo quindi risolvere la diofantea n/(n + 76) = m², con m razionale. Quando due quadrati hanno per differenza 76? La differenza tra due quadrati consecutivi (è più facile trovarli) è sempre dispari. Togliamo tutti i fattori pari (ovvero 4), resta 19. Gli unici due quadrati con differenza 19 sono (19/2 ± 1/2)², ovvero 81 e 100. Moltiplichiamo per 4. 324 / 400 è il quadrato di un razionale. n = 324.

Ora la domanda è: qual è la percentuale di cazzate nel mio ragionamento?

EDIT: Wow, almeno ho azzeccato il numero!

SkZ ha scritto:$ $n=\frac{76(l-k)^2}{k(2l-k)} $

il mio sospetto era fondato allora....
però potresti postare anche il seguito? Non riesco a capire come si prosegue da qui

e' molto semplice:
ovviamente $ ~ l>k>0 $, ma posso anche considerare $ ~l,k\in\mathbb{N},\; (l,k)=1 $ (=> compito per casa: non sono io che devo allenarmi ), devo vedere quando quella frazione e' intera
si riduce a considerare quando il denominatore divide $ ~76=2\cdot2\cdot19 $
dato che $ ~2l-k>k $ hanno la stessa parita', abbiamo
$ ~(l,k)=(10,1)\Rightarrow n=18^2=324 $