OliForum Matematico

Mostrare che
$ a^4+b^4 \ge a^3b $
per ogni $ a,b $ appartenenti ad R.
(non so come scrivere appartenenti ad R in LaTex)

Così:
Per quanto riguarda il problema, per una volta viene semplice anche con i risultati brutali di analisi due.

Fedecart ha scritto:Mostrare che
$ a^4+b^4 \ge a^3b $
per ogni $ a,b $ appartenenti ad R.
(non so come scrivere appartenenti ad R in LaTex)

io direi che è meglio

$ \displaystyle a^4+b^4 \ge \frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} a^3b $

posso provarci:
riscriviamo come $ b^4\ge -a^3(a-b) $
abbiamo $ b^4\ge 0 $ pertanto se $ -a^3(a-b)\le 0 $ la disuguaglianza è banalmente verificata.
Prendiamo quindi in esame i casi in cui $ $-a^3(a-b)>0 $, ovvero $ $a^3(a-b)<0 $
Caso 1:
$ 0<a $
$ $a-b<0 $
In questo caso però avremmo $ $0<a^3<b^3 $ e $ -b<a-b<0 $ quindi la disuguaglianza rimane vera
Caso 2:
$ $0<a-b $
$ a<0 $
Anche in questo caso però avremmo $ b^3<a^3<0 $ e $ 0<a-b<-b $
e di nuovo la disuguaglianza rimane vera
E' quindi dimostrato che per ogni coppia $ a,b\in\mathbb R $ è vero che $ a^4+b^4\ge a^3b $

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:
$ \displaystyle a^4+b^4 \ge \frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} a^3b $

con $ $a,b \in \mathbb{R}$ $

Ora, se $ $a$ $ e $ $b$ $ sono uno positivo e l'altro negativo, allora è banalmente verificata (perchè LHS>0 e RHS<0). Se sono entrambi positivi o entrambi negativi, uso AM-GM:

$ \displaystyle \frac{\frac{1}{3}a^4+\frac{1}{3}a^4+\frac{1}{3}a^4+b^4}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{1}{3}a^4\cdot \frac{1}{3}a^4 \cdot \frac{1}{3}a^4 \cdot b^4} $

da cui $ \displaystyle a^4+b^4 \geq \frac{4}{\sqrt[4]{27}} \sqrt[4]{a^{12}b^4}=\frac{4}{\sqrt[4]{27}} |a|^3|b|=\frac{4}{\sqrt[4]{27}} a^3b $

L'uguaglianza è verificata quando $ \displaystyle \frac{1}{3}a^4=b^4 $ cioè quando $ \displaystyle |a|=\sqrt[4]{3}\cdot |b| $

Questa è una di quelle disuguaglianze che vengono in qualsiasi modo le fai...medie, chebyshev, bunching...Sarebbe d'allenamento trovare altre dimostrazioni (è molto larga, quindi viene sempre..è solo per mettere in pratica le disuguaglianze note)

Inizio io:
$ \displaystyle \sum_{sym}a^4\ge \sum_{sym}a^3 b $
per bunching, assumendo che a e b siano positivi (con le considerazioni di Fede90), e cioé sviluppando le somme simmetriche:
$ a^4+b^4\ge a^3 b +ab^3\ge a^3 b $