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vorrei riproporre un problema che ho visto è già stato discusso un anno fa ma del quale non ho capito del tutto la soluzione.

Costruire il polinomio (a coefficienti reali)
$ P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 $

verificante le condizioni
-$ P(x,y)=0 $ soltanto per $ x=y=0 $
-Se $ x $ e $ y $ sono due numeri interi allora anche $ P(x,y) $ è un intero.

Determinare poi il massimo della quantità
$ \Delta=b^2-4ac $
al variare di P nell'insieme dei polinomi soddisfacenti le proprietà precedenti

In particolare la cosa che non mi è chiara è:
quando dice che $ P(x,y)=0 $ solo se $ x=y=0 $ sottointende per $ x,y\in\mathbb R $? Perchè se fosse $ x,y\in\mathbb C $ il polinomio avrebbe infinite radici.....

Sì $ x,y \in \mathbb R $. Per il primo punto vedi che succede se una delle due incognite è fissata diversa da zero ( e poi l'altra...ma non cambia molto....).

Per la condizione due invece vedi se ci sono valori particolari di x e y che ti danno informazioni su a,b e c.

Il secondo punto è conseguenza immediata della prima parte

si ora ho capito tutto la parte che non mi era chiara era perchè doveva essere $ \Delta<0 $ affinchè l'unica soluzione fosse $ x=y=0 $. Ma se $ x,y\in\mathbb R $ allora questo diventa ovvio. Grazie per il chiarimento