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Un piano proiettivo è un insieme di punti e di suoi sottinsiemi detti rette tali che:
P1: ogni coppia di punti appartiene a un'unica retta
P2: ogni coppia di rette si incontra in almeno un punto
P3: ogni retta contiene almeno tre punti
P4: esistono tre punti non collineari

Mostrare che:
a) ogni piano proiettivo ha almeno 7 punti
b) esiste un piano proiettivo con soli 7 punti
c) se ci sono $ n+1 $ punti per retta in un piano proiettivo allora il numero totale di punti del piano proiettivo è $ n^2+n+1 $

Le scienze?

potrei anche sbagliarmi, ma questo mi puzza molto di compito per casa di universitari...

bu

1) Allora per la proposizione 4 ci sono almeno 3 punti, $ ~P_1 $, $ ~P_2 $, $ ~P_3 $; vi saranno quindi anche tre rette $ ~P_1,P_2\in R_1 $, $ ~P_1,P_3\in R_2 $, $ ~P_2,P_3\in R_3 $ non coincidenti (se fossero coincidenti almeno due tra i tre punti iniziali sarebbero coincidenti per la Proposizione 1, contraddicendo la Prop. 4) Vi saranno quindi altri tre punti non coincidenti con i primi tre (perché sennò, sempre per la Prop.1 le rette sarebbero coincidenti) $ ~P_4 $,$ ~P_5 $,$ ~P_6 $, con $ ~P_4\in R_1 $,$ ~P_5\in R_2 $,$ ~P_6\in R_3 $. A loro volta dovranno esistere altre tre rette $ ~P_1,P_6\in R_4 $, $ ~P_2,P_5\in R_5 $, $ ~P_3,P_4\in R_6 $. Ognuna di queste tre rette avrà un terzo punto (ma in questo caso potrebbe essere coincidente per tutte e tre le rette) quindi ogni piano proiettivo ha almeno 3+3+1= 7 punti.

2) Il caso precedente con $ ~P_7\in R_4,R_5,R_6 $

3) ci penso.

@Jacobi no è nella mia stessa scuola fa la quarta liceo...

Sarebbe buffo come compito per casa da universitari.

sisi ne ho gia parlato con giulius via mp: errore mio