Nella figura si suppone P interno alla circonferenza( altrimenti
il disegno si complica troppo).Per semplicità indico con A',B',C'
le proiezioni ortogonali di P sui lati del triangolo ABC ,con
S ed S' le superfici di ABC e A'B'C',con R ed R' i circoraggi
relativi a questi triangoli ed infine siano R,S,T le ulteriori intersezioni
con la circonferenza delle rette AP,BP,CP.
Per note formule risulta:
(0) $ \displaystyle\frac{S'}{S}=\frac{R}{R'}\cdot\frac{A'B'}{AB}\cdot\frac{B'C'}{BC}\cdot\frac{C'A'}{CA} $
Poiché il quadrilatero AB'PC' è ciclico ,è facile verificare la
congruenza degli angoli disegnati con il medesimo colore e quindi
la congruenza degli angoli TSR e C'B'A'.Analogamente per gli altri
angoli dei triangoli A'B'C' e RST che risultano pertanto simili.
Da questa similitudine e da quella dei triangoli ABP e PRS seguono le formule :
$ \displaystyle \frac{A'B'}{RS}=\frac{R'}{R},\frac{RS}{AB}=\frac{PR}{PB} $
e moltiplicando:
(1) $ \displaystyle \frac{A'B'}{AB}=\frac{R'}{R}\cdot\frac{PR}{PB} $
Ora dal quadrilatero ciclico AB'PC' ( con diametro del circocerchio = AP) si ricava
( teorema corda):
$ \displaystyle B'C'=AP\sin\alpha=AP\cdot \frac{BC}{2R} $
da cui $ \displaystyle \frac{B'C'}{BC}=\frac{AP}{2R} $e formule analoghe
ricavate dagli altri quadrilateri ciclici BC'PA' e CA'PB'.
Riunendo le formule si ha:
(2) $ \displaystyle \begin {cases}
\frac{B'C'}{BC}=\frac{AP}{2R}\\
\frac{C'A'}{CA}=\frac{BP}{2R}\\
\frac{A'B'}{AB}=\frac{R'}{R}\cdot\frac{PR}{PB}
\end{cases} $
Sostituendo le
(2) nella
(0) otteniamo:
$ \displaystyle S'=S\cdot \frac{R}{R'}\cdot\frac{R'}{R}\cdot\frac{PR}{PB}\cdot\frac{AP}{2R}\cdot\frac{BP}{2R} $
Da cui :
(3) $ \displaystyle S'=S\cdot\frac{AP\cdot PR}{4R^2} $
Ma AP*PR=p, essendo p la potenza di P rispetto alla circonferenza.Inoltre:
$ \displaystyle S=\frac{abc}{4R}=\frac{8R^3\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{4R}=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma} $
E quindi la
(3) diventa:
$ \displaystyle S'=\frac{p}{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma} $
C.V.D.
Poiché si ha pure :
$ p=AP\cdot PR=MP \cdot PN=(R-OP)(R+OP)=R^2-OP^2 $ ne consegue che
se P appartiene alla circonferenza si ha p=0 e quindi anche S'=0 e ciò
è possibile sse i punti A',B',C' sono su di una stessa retta.Si arriva così al
teorema della retta di Simson