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ciao mi potete dare una mano con questo esercizio 2^n+ 5^n= x^2 +65 da risolvere x coppie di (n,x) intere. Non riesco a capire la spiegazione del video sul sito di Gobbino, in particolare al minuto 19:40 quando dice"l'idea è di mettere x^2 tra due quadrati consecutivi".. perche?
grazie

Praticamente se tu dimostri che quell'espressione è compresa tra 2 quadrati consecutivi hai dimostrato che non può essere un quadrato e che quindi la diofantea non ha soluzioni ;)
L'espressione che intende Gobbino è 2^n+5^n-65... ma prima devi dimostrare che n è pari ;)
Questo problema l'ho affrontato anche io per il senior :)

si si al fatto di dimostrare n pari ci ero arrivato.. ma ti serve semplicemente per trovare una b^k che elevata al quadrato ti dia un esponente di 2k in modo da poterlo confrontare nella disuguaglianza,giusto?..ah ok adesso un po' l'ho capito il resto.. lui dimostra k per k maggiore di 3 non esiste x e prova con k più piccoli. ma con quali tentativi e in base a quali criteri trova le basi 5^k e 5^k+1? grazie mille

allora l'esercizio se non sbaglio è
$ x^2=2^n+5^n-65 $. Facendo un controllo sulle potenze di 2 e sui residui quadratici modulo 5, arrivi a dire che $ n $ pari,ovvero $ n=2m $.
Quindi diventa $ x^2=2^{2m}+5^{2m}-65 $. Per $ m\ge 4 $, $ 2^{2m}>65 $, quindi $ 5^{2m}+2^{2m}-65>5^{2m} $.
Ora sviluppiamo $ (5^{m}+1)^2=5^{2m}+2*5^m+1 $.
A questo punto puoi quindi dire che per $ m\ge 4 $ si ha che:
$ (5^m)^2<5^{2m}+2^{2m}-65<(5^m+1)^2 $.
Quindi la quantità $ 5^{2m}+2^{2m}-65 $ è compresa tra 2 quadrati perfetti consecutivi, pertanto non può essere un quadrato perfetto.
I casi per $ m\le 3 $ puoi provarli tutti e vedere per quali funziona. A quel punto puoi dire che quelle sono le uniche soluzioni.

ok chiarissimo!se n fosse dispari sarebbe quindi quasi impossibile usare questo procedimento, vero? grazie mille

ledzep92 ha scritto:ok chiarissimo!se n fosse dispari sarebbe quindi quasi impossibile usare questo procedimento, vero? grazie mille

diciamo che n non può essere dispari, poichè l'abbiamo escluso all'inizio mediante residui quadratici..

no.. intendevo se il problema avesse numeri diversi e non si potesse giungere a dire che n è necessariamente pari..oppure addirittura n dovesse essere necessariamente dispari.. allora non si potrebbe fare il discorso del porre x^2 tra due quadrati.

Porre $ x^2 $ compreso tra due quadrati è sempre possibile..
Qua n è sempre pari, e grazie a ciò si scompone il secondo membro.