OliForum Matematico

Mi ha fatto penare...! Ve lo propongo
Siano p e r due numeri reali con $ p>r $. Tra tutti i quadrilateri convessi di perimetro p e aventi la somma di una coppia di lati consecutivi uguale a r, dire qual'è quello di area massima. Buon Lavoro! =)

Fedecart ha scritto:Siano p e r

[mode brillantissimo e utilissimo intervento on] forse volevi dire p e q..e dovresti anche dire che $ q>0 $ [mode brillantissimo e utilissimo intervento off]

Editato. ora dovrebbe essere tutto apposto. r>0 non è nel testo ma è scontato in quanto una somma di lunghezze di segmenti non può essere negativa

Non risponde nessuno?!...

Molto azzardato e senza troppi controlli...
Sia d la lunghezza della diagonale che divide la coppia di lati r da quella p-r.
Prendiamo in considerazione i due triangoli in cui d divide il quadrilatero. Per Erone e AM-GM l'area massima si ha quando i triangoli sono isosceli. A questo punto si può trovare la lunghezza dell'altra diagonale in funzione di d e usare l'analisi, ma mi sembra un po' poco elegante. Qualcuno ha un'idea migliore o mi metto a fare i brutti contazzi?
(però in effetti è un sns, non un olimpico... è possibilissimo che non ci siano metodi più belli, anche se gabriel ne conosce sicuramente qualcuno (che poi bisognerebbe rivedere i suoi canoni di bellezza, ma vabbè...))

Addirittura l'analisi

Se fissi una base e hai la somma degli alti due, allora il luogo dei punti dei triangoli possibili è un ellisse, e naturalmente l'area è massima quando è massima l'altezza, cioè quando il triangolo è isoscele. Adesso abbiamo quindi due triangoli che sono congruenti e simmetrici rispetto a una diagonale fissata. Prendiamo uno di questi triangoli e consideriamo il suo simmetrico rispetto all'asse della diagonale fissata. L'area del quadrilatero è sempre la stessa e addirittura è un parallelogramma. E se ha anche i lati fissati allora l'area è massima quando gli angoli sono retti. (Tornando al problema originale gli angoli retti devono stare al primo e l'ultimo vertice dei due lati consecutivi di lunghezza totale r).