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Se è una disuguaglianza, per facile che sia (e non vergognatevi a postare problemi facili, ché i principianti ne hanno bisogno), va in algebra -- HarryPotter

Dimostrare che $ \sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} + \sqrt{4d + 1} < 6 $ con $ a + b + c + d = 1 $ e $ (a,b,c,d) \in \mathbb{R}_+^4 $.

In fin dei conti non è tanto difficile,perciò lasciatela ai meno esperti

$ 4\sqrt2<6 $

FeddyStra ha scritto:$ 4\sqrt2<6 $

ok ma se hai $ a \neq b \neq c \neq d $ come fai?

Proviamo ad elevare al quadrato.

$ 4(a + b + c + d + 1) + 2\sqrt{(4a + 1)(4b + 1)} + 2\sqrt{(4a + 1)(4c + 1)} + 2\sqrt{(4a + 1)(4d + 1)} + 2\sqrt{(4b + 1)(4c + 1)} + 2\sqrt{(4b + 1)(4d + 1)} + 2\sqrt{(4c + 1)(4d + 1)} < 36 $

Ma $ 4(a + b + c + d + 1) = 4*2 = 8 $. Sposto al secondo membro e semplifico per 2.

$ \sqrt{(4a + 1)(4b + 1)} + \sqrt{(4a + 1)(4c + 1)} + \sqrt{(4a + 1)(4d + 1)} + \sqrt{(4b + 1)(4c + 1)} + \sqrt{(4b + 1)(4d + 1)} + \sqrt{(4c + 1)(4d + 1)} < 14 $

EDIT: Ho fatto una cazzata, ho dimenticato di elevare al quadrato anche il secondo membro

EDIT2: Risistemato l'errore, ma non mi esce U_U

Vediamo se mi riesce. Io vado di AM-QM

$ QM=\sqrt{\frac{(4a+1)+(4b+1)+(4c+1)+(4d+1)}{4}}=\sqrt{\frac{4(a+b+c+d)+4}{4}}=\sqrt{\frac{4+4}{4}}=\sqrt{2} $

Ora è ben noto che $ AM\leq QM $ Ma Am non è altro che la somma di radici al primo membro della disuguaglianza data, diviso 4. Chiamata tale somma S abbiamo che
$ S\leq 4QM $ ovvero $ S\leq 4\sqrt{2} $.
Essendo $ 6>4\sqrt{2} $ la disuguaglianza è verificata.

Ditemi se il ragionamento può andare! PS mi sono inventato il codice LaTex per minore o uguale, non so se funzionerà!

una soluzione carina sarebbe usare $ (\frac{LHS}{4})^2 = M_{1/2} \leq M_{1} = AM = \frac{4a+1+ {4b+1}+ {4c+1}+ 4d+1}{4} = 2 $

da cui la tesi (le medie sono calcolate sul vettore $ (4a+1, 4b+1, 4c+1, 4d+1) $)

@Jacobi: usare $ AM\le QM $ sui $ \sqrt{4a+1} $ oppure $ M_{1/2}\le AM $ sui $ 4a+1 $ è la stessa cosa!

sisi, pero $ M_{1/2} $ e piu stiloso!!!

Potrebbe anche andare Cauchy-Schwarz sulle quadruple $ (1,1,1,1) $ e $ (\sqrt{4a+1},\sqrt{4b+1},\sqrt{4c+1},\sqrt{4d+1}) $
Infatti viene
$ \sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1} \leq \sqrt{1+1+1+1}\sqrt{4(a+b+c+d)+4} = 4\sqrt{2} < 6 $
e Fine
Va bene penso.

Non l'ho capita... Con Cauchy non avevi i quadrati?

In ogni caso, come avevo fatto notare, il punto cruciale è proprio $ 4\sqrt2<6 $...

Fedecart ha scritto:Non l'ho capita... Con Cauchy non avevi i quadrati?

Cauchy-Schwarz è:
$ (a_1b_1 + ... + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2) $
Io ho usato $ 1/2 $ Cauchy. Infatti estraendo le radici viene
$ (a_1b_1 + .... a_nb_n) \leq \sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2} $
Poi gli $ a_i $ sono tutti $ 1 $ , i $ b_i $ sono le radici della traccia e viene:
$ LHS \leq \sqrt{1+1+1+1}\sqrt{4a+1+4b+1+4c+1+4d+1} $
E poi si continua come sopra

FeddyStra ha scritto:In ogni caso, come avevo fatto notare, il punto cruciale è proprio $ 4\sqrt2<6 $...

Infatti, il suggerimento di FeddyStra è stato illuminante

bè, se notate con cauchy si dimostra QM-AM e con QM-AM si dimostra cauchy..

La am-qm torna tra noi..

Oppure, senza usare un cannone come $ 4\sqrt{2}<6 $, si può risolvere così:
$ \sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1}<\sqrt{4a^2+4a+1}+\sqrt{4b^2+4b+1}+\sqrt{4c^2+4c+1}+\sqrt{4d^2+4d+1}=2a+1+2b+1+2c+1+2d+1=6 $