OliForum Matematico

Nel libro "La matematica del Club Olimpico Kangourou" ho letto questo problema:

Sapendo che $ x_1 \geq 0 $,$ x_2 \geq 0 $,$ x_3 \geq 0 $ e $ x_1 + x_2 + x_3 = 1 $, calcolare il valore massimo di $ x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 $

A me viene $ \dfrac{1}{3} $, ma nelle soluzioni del libro c'è scritto $ \dfrac{1}{2} $ e il ragionamento non è riportato. Il mio mi aveva portato a concludere che il valore massimo si ha quando $ x_1 = x_2 = x_3 $ (e in questo caso viene $ \dfrac{1}{3} $). Mi serve l'opinione di qualche utente più esperto. Grazie.

Bé, x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ è il valore minimo delle somme dei prodotti, per le disuguaglianze di riarrangiamento. Se poni x₁ = x₂ = x₃, hai che il minimo coincide con il massimo, e dovrebbe essere giusto. Non riesco davvero a capire l'1/2.

sasha™ ha scritto:Bé, x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ è il valore minimo delle somme dei prodotti

Ma il minimo non si ha per $ 2x_1x_3+x_2^2 $?

Comunque a parte questo dovrebbe essere giusto $ \frac 1 3 $

$ ab+bc+ca=((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2))/2=(1-(a^2+b^2+c^2))/2 $
che è massimo per $ a^2+b^2+c^2=0 $
quindi $ ab+bc+ca<=1/2 $
questo è il loro ragionamento

comunque non preoccupatevi: avete dimostrato una tesi più forte

scusate il pessimo latex

Maioc92 ha scritto:

sasha™ ha scritto:Bé, x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ è il valore minimo delle somme dei prodotti

Ma il minimo non si ha per $ 2x_1x_3+x_2^2 $?

Comunque a parte questo dovrebbe essere giusto $ \frac 1 3 $

È vero, che cazzata che ho detto

EDIT: Come fa $ a^2 + b^2 + c^2 $ ad essere 0 se sono tutti positivi o nulli, ma non tutti nulli?

sasha™ ha scritto: EDIT: Come fa $ a^2 + b^2 + c^2 $ ad essere 0 se sono tutti positivi o nulli, ma non tutti nulli?

appunto..

in verità (tanto per completare la dimostrazione)
$ a^2+b^2+c^2>=1/3 $ per QM-AM (o per qualsiasi altra cosa)
quindi il massimo è $ (1-1/3)/2=1/3 $

Beh, viene direttamente con Mac-Laurin:
$ \displaystyle \sqrt{\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{3}}\le\frac{x_1+x_2+x_3}{3} $

anche col riarrangiamento viene subito:
$ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\le x_1^2+x_2^2+x_3^2 $
$ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\le (x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) $
$ 3(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\le 1 $
$ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\le \frac 1 3 $