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Sia $ $n\in\mathbb{Z}^+,$ $ e sia $ $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $ una funzione simmetrica in $ $n$ $ variabili. Sapendo che, per ogni $ $(x_1, \cdots, x_n, y) \in \mathbb{R}^{n+1}$ $,
a. $ $f_n(x_1+y, x_2+y, \cdots, x_n+y) = f_n(x_1, x_2, \cdots, x_n) + y,$ $
b. $ $f_n(-x_1, -x_2, \cdots, -x_n) = -f_n(x_1, x_2, \cdots, x_n),$ $
c. $ $f_{n+1}\left[ f_n(x_1, \cdots, x_n), f_n(x_1, \cdots, x_n), \cdots, f_n(x_1, \cdots, x_n), y \right] = f_{n+1}(x_1, x_2, \cdots, x_n, y),$ $
dimostrare che $ $f_n(x_i) = \frac{\sum x_i}{n}$ $.

Scusa, mi sono espresso male. Quando ho scritto che $ $f_n(\cdot)$ $ e` una funzione a $ $n$ $ variabili, intendevo dire che considero la classe di funzioni $ $f_1, f_2, f_3, \cdots$ $, le quali rispettano le condizioni scritte. Per esempio, il problema chiede di dimostrare che $ $f_1(x) = x, f_2(x, y) = \frac{x+y}{2}, f_3(x, y, z) = \frac{x+y+z}{3}, \cdots$ $
Spero di essere stato piu` chiaro adesso!

EDIT: vedo che hai cancellato il messaggio Vabbe`, lascio questo intervento per chiarire meglio il problema.

Sì, ho cancellato il messaggio perché poi ho capito, grazie comunque.