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Sia $ $f(x):\mathbb{R}\setminus\{0, 1\}\to\mathbb{R}$ $ una funzione che soddisfa, per ogni $ $x\in\mathbb{R}$ $, l'equazione
$ $f(x) + f\left(\frac{x-1}{x}\right) = 1+x.$ $

Trovare tutte le funzioni che soddisfano l'equazione funzionale.

consiglio $ ~x=-1, 2, 1/2 $

Io consiglio x=0 e x=1.
(lo consiglio a stefanos, non a chi cerca di risolverlo. )

Pongo $ x_1=x $ e $ x_{i+1}=\frac{x_i-1}{x_i} $; ottengo
$ x_2=\frac{x-1}x $, $ x_3=\dots=\frac{-1}{x-1} $, $ x_4=\dots=x $.
Sostituendo questi valori nella formula data:
$ f(x)+f(x_2)=1+x $
$ f(x_2)+f(x_3)=1+x_2 $
$ f(x_3)+f(x)=1+x_3 $
Sommo la prima e l'ultima e sottraggo la seconda:
$ 2f(x)=1+x+1+x_3-1-x_2 $
da cui, a calcoli fatti,
$ f(x)=\displaystyle \frac{x^3-x^2-1}{2x(x-1)} $
che, sostituita nella formula iniziale, dà un'identità.

Può essere interessante sapere che le equazioni funzionali del tipo:
$ \displaystyle f(Mx+N)+f(\frac{Px+Q}{Rx+S})=ax+b $
possono essere risolte con un procedimento del tutto generale
( anche se un po' faticoso nei calcoli).Precisamente si pone :
$ \displaystyle f(x)=\frac{A}{Mx+N}+\frac{Bx^2+Cx+D}{Px+Q} $
Sostituendo opportunamente nell'equazione ,tramite il principio d'identità
dei polinomi ( oppure dando alla variabile x valori particolari) è possibile
determinare le costanti A,B,C,D e quindi la funzione.
Per esempio nel caso in questione :
(1) $ \displaystyle f(x)+f(\frac{x-1}{x})=x+1 $
si deve porre :
(2) $ \displaystyle f(x)=\frac{A}{x}+\frac{Bx^2+Cx+D}{x-1} $
sostituendo la (2) nella (1) e riducendo a forma intera abbiamo:
(3) $ \displaystyle A(x-1)+x(Bx^2+Cx+D)+Ax^2-B(x-1)^3-Cx(x-1)^2-Dx^2(x-1)=x(x^2-1) $
Essendo la (3) intera ,invece di applicare il principio d'identità, possiamo dare ad x i valori -1,0,1,2 ricavando il sistema :
A-7B-5C-D=0
A-B=0
A+B+C+D=0
5A+7B+2C-2D=6
Che risolto dà :A=B=1/2;C=D=-1/2
Sostituendo nella (2) si ha:
$ \displaystyle f(x)=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2-x-1}{x-1}=\frac{x^3-x^2-1}{2x(x-1)} $

veramente interessante, grazie karl (hai qualche bel pdf su funzionali simili?)

Mi dispiace ma non ho materiale sull'argomento.Mi pare di ricordare però che sul forum circolavano (e circolano ,presumo) appunti molto ben fatti dell'utente fph.Giro la richiesta ai moderatori.Ciao.

karl ha scritto:Mi dispiace ma non ho materiale sull'argomento.Mi pare di ricordare però che sul forum circolavano (e circolano ,presumo) appunti molto ben fatti dell'utente fph.Giro la richiesta ai moderatori.Ciao.

Non sono un mod, ma ti do lo stesso il link

Mi resta una domanda per Stefanos: perchè hai usato questo titolo? Ci sono soluzioni più originali di quelle finora comparse? Bè, le domande sono due.

Non che io sappia. Io mi riferivo alla funzione, che non è un classico x, x^2, o roba del genere xD