OliForum Matematico

Consideriamo le funzioni che a due valori di tipo Vero/Falso associano un valore di tipo Vero/Falso. (ad esempio "and", oppure la funzione "sempre V", etc.)

E poi consideriamo le funzioni che a tre valori V/F associano un valore V/F.

È vero che tutte le funzioni a tre valori si scrivono come composizone di funzioni a due valori?
Spero si capisca cosa intendo: ad esempio se f,g sono funzioni a due valori, allora:
$ h(x_1,x_2,x_3) = f(x_2,g(x_3,x_1)) $ è una funzione a tre valori che si ottiene componendo funzioni a due valori.

Mi sembra di no. Diciamo che una coppia (x,y) dà k tramite la funzione h con la z (cioé preceduta da z) se h(z, x, y)=k, con le variabili x,y,z,k appartenenti all'insieme {V, F}. Le coppie possibili sono 4, ma a noi ne basteranno 3. Possiamo supporre che esista una coppia a che dà V con F e F con V, e una coppia b che dà V con V e F con F. Poniamo allora wlog g(a)=V. Si ottiene che h(V, a)=f(V, g(a))=V, dunque f(V, V)=V. Invece h(V, b)=f(V, g(b))=F, dunque g(b) non può essere V, si ha allora che g(b)=F, e che f(V, F)=F. Sfruttando le ipotesi su a e su b si trova che f(F, V)=f(F, g(a))=F e f(F, F)=f(F, g(b))=V. Riassumiamo il comportamento di f:

f(V, V)=V

f(V, F)=F

f(F, V)=F

f(F, F)=V

Ora supponiamo che esista una terza coppia c che dà V sia con V che con F. Quanto vale g(c)?

A occhio e croce, dato un insieme finito A e una funzione h:A^3-->A, non sempre è possibile trovare due funzioni f e g:A^2-->A tali che h(x, y, z)=f(x, g(y, z)) per ogni terna di elementi, ma lasciamo la soluzione al lettore!

Ho ricevuto un messaggio sulla posta elettronica che diceva che qualcuno aveva risposto, ma poi non ho trovato nessun post.

Chi sei, fantasma che ti aggiri nell'Oliforum?

Comunque la mia congettura si può dimostrare in maniera simile al caso dell'insieme di due elementi.

forse sono io che ho modificato il messaggio iniziale togliendo una cazzata

Ah mi son spiegato male, intendevo dire che deve valere:
$ h(x_1,x_2,x_3)=f(x_1,g_(x_2,x_3)) $
OPPURE
$ h(x_1,x_2,x_3)=f(x_2,g_(x_1,x_3)) $
oppure
$ h(x_1,x_2,x_3)=f(x_3,g_(x_2,x_1)) $
oppure altre cose del genere che sono equivalenti.

Comunque penso che la tua dimostrazione si possa estendere senza troppi problemi al caso più grande (questo).