uchiak ha scritto:Dividiamo un segmento in due parti a caso.
Poi dividiamo la parte più lunga in due parti a caso.
Dimostrare che la probabilità che le tre parti formino un triangolo è $ \ln{4/e} $.
Immagino che, posti 0 e 1 i due vertici, ogni taglio abbia distribuzione di probabilità U(0,1).
Dopo il primo taglio, il segmento sarà diviso in due parti a e 1-a, dove il valore di a avrà anch'esso distribuzione U(0,1).
Ora, la probabilità che a=1/2 è da considerarsi pari a 0 in quanto siamo in probabilità continua, supponiamo dunque a<1/2. Ne segue che il segmento più lungo sarà 1-a, e pertanto quello da dividere è quello. Il segmento verrà diviso in due parti lunghe b e 1-a-b, con b distribuito U(0,1-a).
Affinchè le tre parti formino un triangolo, dovrà essere soddisfatta per ogni lato la disuguaglianza triangolare.
a < b + 1-a-b è sempre vera, poichè a<1/2 per ipotesi.
b < a + 1-a-b implica b < 1-b, cioè b<1/2.
1-a-b < a+b, da cui 2a+2b>1, ovvero a+b>1/2, cioè b>1/2-a.
Ora, la probabilità che b sia compreso tra 1/2-a e 1/2, condizionata dal fatto che è uniformemente distribuito tra 0 e 1-a, è pari al rapporto tra le lunghezze dei due intervalli, cioè a/(1-a). Questa quantità va integrata per a che va da 0 a 1/2. Il valore di questo integrale (che si calcola con tecniche elementari) è -(1/2)-ln(1/2). Si constata poi che il caso a>1/2 è perfettamente simmetrico a questo e che pertanto la probabilità trovata precedentemente va moltiplicata per due. Il risultato è dunque -1-2*ln(1/2) = -1-ln(1/4) = ln(4)-1 = ln(4)-ln(e) = ln(4/e), come volevasi dimostrare.
