OliForum Matematico

chi e piu grande fra $ \pi^{e} $ e $ e^{\pi} $? (ovviamente senza calcolatrici )
piu in generale: qual'e' la condizione da imporre su x e y, affinche sia $ x^y $ piu grande di $ y^x $?

Perchè qui?

ahh si scusami!! errore di distrazione (stavo facendo una visitina a TDN e ho postato qui ) Chiedo a qualche mod di spostarlo!

ps: jordan hai qualche idea su come si risolva il problema generale?

se ben ricordo per $ ~a>b>e\quad b^a>a^b $

Se entrambi sono maggiori o minori di e, allora come ha detto SkZ funziona facilmente, solo che non si prendono tutti i casi.
Bisogna trovare le soluzioni di $ $x^y=y^x $ con $ $z\neq y $, poi è fatta.
Riconducendo l'equazione a $ $x^{\frac{1}{x}}=y^{\frac{1}{y}} $ e studiando la funzione $ $x^{\frac{1}{x} $ si trova facilmente che le soluzioni che ci interessano sono le due intersezioni del grafico con $ $y=a $ con $ $1<a<e $, e poiché $ $1<x^{\frac{1}{x}}\le e $ per $ $x>1 $, se riusciamo a trovare una parametrica che soddisfa l'ipotesi e che dà tutti i valori maggiori di 1, è fatta.
Se pongo
$ $x=k^{\frac{1}{k-1}} $
$ $y=k^{\frac{k}{k-1}}=kx=x^k $
si verifica facilmente che tutto quadra. Ora, se qualcuno che sappia un po' più teoria di me, trova l'inversa di $ $k^{\frac{1}{k-1}} $, dato x si trova k e quindi y, così abbiamo y in funzione di x. L'area di grafico che soddisfa la disequazione sarà quella compresa in qualche modo fra quest'ultima funzione e y=x.

Anzi, visto che mi sa che l'inversa di $ $k^{\frac{1}{k-1}} $ non è nulla di decente, la chiamo semplicemente $ $g(x) $, ora $ $y=x\cdot g(x)=x^{g(x)} $. Ora le soluzioni dovrebbero essere per $ $x\le 1 $: $ $y<x $, per $ $1<x\le e $: $ $y<x\vee y>x\cdot g(x) $, per $ $x>e $: $ $y>x\vee y<x\cdot g(x) $.
Il tutto è decisamente poco rigoroso, diciamo che si giustifica con uno studio di funzioni/programma per fare grafici.

edit: ok dò un po' di rigore al tutto.
La parte di SkZ, e cioè che va y<x per x<e e x>y per x>e si fa semplicemente con la derivata di $ $x^{\frac{1}{x}} $ che è $ $x^{\frac{1}{x}-2}\cdot(1-\ln(x)) $, la funzione è crescente in ]0;e[ e decrescente in ]e;+inf[.
Veniamo ora all'altra parte. Per costruzione, se $ $x>e $ allora $ $x\cdot g(x)<e $ (quando avevo trovato le soluzioni come intersezioni del grafico di$ $x^{\frac{1}{x}} $ con rette orizzontali). Ora, se $ $y<x\cdot g(x) $, per la monotonia crescente in ]0;e[ di $ $x^{\frac{1}{x}} $, $ $y^{\frac{1}{y}}<{(x\cdot g(x))}^{\frac{1}{x\cdot g(x)}}=x^{\frac{1}{x}} $. Analogamente per $ $x<e $

Mi ricordo di questa equazione, cioè di $ x^y=y^x $, l'ho fatta all'università in Analisi 2 e il professore l'ha risolta usando il Teorema del Dini. Ma va' tu a ricordarti i passaggi... Comunque il grafico dato dalle soluzioni ricordava molto l'iperbole $ 1/x $, ovviamente nella sola parte positiva...

Io la cosa più somigliante che ho trovato è $ $ e^{\frac{e}{x}} $.
Comunque beddo vuol dire che ho fatto roba di Analisi 2?

"Trovare tutte le soluzioni razionali positive di $ x^y=y^x $"

Ps. Almeno questo è di tdn

Beh fatta tutta la parte prima sui reali diventa facilotto...
Poiché $ $k=\frac{x}{y} $, anche k è razionale, quindi impongo $ $k=\frac{a}{b} $ ridotto ai minimi termini.
$ $x=\left(\frac ab\right)^{\frac{1}{\frac ab-1}}=\left(\frac ab\right)^{\frac{b}{a-b}} $. Detto $ $c=a-b $, $ $a $ e $ $c $ sono coprimi quindi sia $ $a $ che $ $b $ devono essere potenze c-esime, a meno che $ $c=\pm 1 $, caso che guardo dopo. $ $a=d^c $ e $ $b=e^c $, $ $d^c-e^c=c $, che si vede subito portare ad un assurdo nella maggior parte dei casi in quanto il LHS è già maggiore del RHS per d=e+1 e c>1. L'unica possibilità che rimane è c=1 e d=e+1, che equivale a $ $k=\frac{a}{a-1} $. Prima mi ero messo da parte anche $ $c=-1 $, che altro non è che la soluzione simmetrica nel caso in cui y sia maggiore (c=1 implica facilmente x maggiore). Con c=1, per a intero maggiore di 1, sostituiamo:
$ $x=\left(\frac{a}{a-1}\right)^{\frac{1}{\frac{a}{a-1}-1}}=\left(\frac{a}{a-1}\right)^{a-1} $
$ $y=k\cdot x=\left(\frac{a}{a-1}\right)^a $
più la simmetrica, che effettivamente sono soluzioni con semplici conti.