OliForum Matematico

Vi riporto il testo:

Su n T-shirt, con n ≥ 2, sono stampati alcuni simboli presi da un insieme X di 8 simboli possibili. Si sa che:
- Ogni T-Shirt contiene almeno un simbolo
- Non ci sono due T-shirt con lo stesso insieme di simboli
- Per ogni sottoinsieme Y di X, diverso dal vuoto e da X, il numero di T-shirt che contengono almeno un simbolo appartenente a Y è pari.
Determinare n.

1. Non ho capito bene la richiesta. Con "Determinare n" si intende "Trovare tutti i possibili valori di n"?
2. Ho letto gli aiutini, senza capirli. Allora ho ragionato in un altro modo, ovvero dimostrandolo per le congruenze modulo 4, e ho dimostrato che vanno bene tutti i valori di n tali che 3 < n < 253, n = 255. Il risultato è giusto? Ha un senso dimostrarlo così?

prova a fare l'esempio con n=4 chiamando a,b,c,d,e,f,g,h i simboli...

Alur... ti dico che va bene un solo n ;)
Per dimostrarlo ti consiglio di fare così (vai per step):
1) Dimostra che c'è un numero pari di magliette che contiene ogni sottoinsieme di X (per induzione estesa sfruttando PIE e le ipotesi)
2) Dimostra che è presente la maglietta che contiene tutto X (prendendo tra quelle presenti quella di cardinalità massima e dimostrando che non rispetta 1) )
3) Dimostra che non ci sono sottoinsiemi non rappresentati esattamente su una maglietta (considera l'insieme dei sottoinsiemi non rappresentati e dimostra che quello di cardinalità massima va contro 1) )

Spero di esserti stato d'aiuto...

dario2994 ha scritto:Alur... ti dico che va bene un solo n
Per dimostrarlo ti consiglio di fare così (vai per step):
1) Dimostra che c'è un numero pari di magliette che contiene ogni sottoinsieme di X (per induzione estesa sfruttando PIE e le ipotesi)
2) Dimostra che è presente la maglietta che contiene tutto X (prendendo tra quelle presenti quella di cardinalità massima e dimostrando che non rispetta 1) )
3) Dimostra che non ci sono sottoinsiemi non rappresentati esattamente su una maglietta (considera l'insieme dei sottoinsiemi non rappresentati e dimostra che quello di cardinalità massima va contro 1) )

Spero di esserti stato d'aiuto...

Sinceramente, ho le idee più confuse di prima.

- Per ogni sottoinsieme Y di X, diverso dal vuoto e da X, il numero di T-shirt che contengono almeno un simbolo appartenente a Y è pari.

Non è equivalente a "Ogni simbolo compare un numero pari di volte"?

sasha™ ha scritto:

- Per ogni sottoinsieme Y di X, diverso dal vuoto e da X, il numero di T-shirt che contengono almeno un simbolo appartenente a Y è pari.

Non è equivalente a "Ogni simbolo compare un numero pari di volte"?

non proprio

se consideri i sottoinsiemi da:
1 elemento --> Ogni simbolo compare un numero pari di volte
2 elementi ---> la cardinalità dell'unione tra le magliette che contengono un simbolo (a) e le magliette che contengono un altro simbolo (b) è pari
3 elementi ---> la cardinalità dell'unione tra le magliette che contengono a, quelle che contengono b, e quelle che contengono c, è pari
...
7 elementi ---> la cardinalità dell'unione tra le magliette che contengono a,b,c,d,e,f,g è pari

exodd ha scritto:

sasha™ ha scritto:

- Per ogni sottoinsieme Y di X, diverso dal vuoto e da X, il numero di T-shirt che contengono almeno un simbolo appartenente a Y è pari.

Non è equivalente a "Ogni simbolo compare un numero pari di volte"?

non proprio

se consideri i sottoinsiemi da:
1 elemento --> Ogni simbolo compare un numero pari di volte
2 elementi ---> la cardinalità dell'unione tra le magliette che contengono un simbolo (a) e le magliette che contengono un altro simbolo (b) è pari
3 elementi ---> la cardinalità dell'unione tra le magliette che contengono a, quelle che contengono b, e quelle che contengono c, è pari
...
7 elementi ---> la cardinalità dell'unione tra le magliette che contengono a,b,c,d,e,f,g è pari

Sì, ma dice "Per ogni sottoinsieme", questo non implica anche {a}, {b}, eccetera?

EDIT: Aaah, ho capito. Nel senso che, se io ho 8 magliette che contengono a, e 6 che contengono b, mi serve un numero pari di magliette che contengano sia a che b. Chiaro, adesso.

ti sto dicendo che quello che dici tu è giusto, ma è come se tu considerassi solo i sottoinsiemi da 1 elemento, mentre l'ipotesi è più generale..