OliForum Matematico

Own. Siano dati $ x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n,z_1,z_2,\ldots,z_n, $ reali positivi tali che:
i) $ x_1+x_2+\ldots+x_n=a $
ii) $ y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2=b $
iii) $ z_1^3+z_2^3+\ldots+z_n^3=c $


Trovare il massimo di $ \sqrt{x_1y_1z_1}+\sqrt{x_2y_2z_2}+\ldots + \sqrt{x_ny_nz_n} $

Ps. Molto facile..

Molto facile dici...... Per curiosità, potresti postare un problema che per te è difficilissimo.....?

Se la mia soluzione è giusta Jordan sta perdendo colpi, perché l'ultima volta ho dovuto penare come un matto per risolvere un problema a suo dire molto facile .
Allora:

$ \displaystyile \sqrt{{x_1}{y_1}{z_1}}+...+\sqrt{{x_n}{y_n}{z_n}}\leq \frac{{x_1}+{y_1}{z_1}}{2}+...+\frac{{x_n}+{y_n}{z_n}}{2}=\frac{a}{2}+\frac{{y_1}{z_1}+...+{y_n}{z_n}}{2} $ per AM-GM. Continuando ad usare la disuguaglianza tra le medie, si ha:

$ \frac{a}{2}+\frac{{y_1}{z_1}+...+{y_n}{z_n}}{2}\leq \frac{a}{2}+\frac{{y_1}^2+{z_1}^2+...+{y_n}^2+{z_n}^2}{4}=\frac{a}{2} +\frac{b}{4} + \frac{{z_1}^2+...+{z_n}^2}{4} $ e da qui si può comodamente concludere con la disuguaglianza tra le medie 2 e 3 su z.
Può andare?

Grazie per il post comunque

Qui una volta c'era un dubbio idiota.

pak-man ha scritto:Non mi convince questo passaggio:

Natalino ha scritto:$ \dfrac{a}{2}+\dfrac{y_1z_1+\ldots+y_nz_n}{2}\le\dfrac{a}{2}+\dfrac{y_1^2+z_1^2+\ldots+y_n^2+z_n^2}{4} $

GM-QM applicato ai $ y_i $, $ z_i $

Perché no? Ho usato la disuguaglianza tra le medie:

$ \sqrt{{y_1}{z_1}}\leq \sqrt{\frac{{y_1}^2+{z_1}^2}{2}} $

Quindi ho elevato al quadrato; dovrebbe andare, no?

Enrico Leon ha scritto:Molto facile dici...... Per curiosità, potresti postare un problema che per te è difficilissimo.....?

Se proprio insisti, questo è forse il più difficile che sono riuscito a risolvere..

Non mi convince del tutto. Per esempio applichi GM-AM

Natalino ha scritto:$ \displaystyile \sqrt{{x_1}{y_1}{z_1}}+...+\sqrt{{x_n}{y_n}{z_n}}\leq \frac{{x_1}+{y_1}{z_1}}{2}+...+\frac{{x_n}+{y_n}{z_n}}{2}=\frac{a}{2}+\frac{{y_1}{z_1}+...+{y_n}{z_n}}{2} $ per AM-GM.

e poi in seguito altre medie. Il problema è che alla fine ti trovi con una disuguaglianza certamente vera, ma non hai verificato che le condizioni di uguaglianza possano essere effettivamente soddisfatte (per quella roportata per esempio sono $ x_i=y_iz_i\ \ \forall i $), ergo il massimo potrebbe essere più piccolo di quello che hai trovato.

@Natalino, essì sto perdendo colpi , la critica di Feddystra è corretta, e per di piu ho trovato un errore nella mia.. difatti io consideravo la disuguaglianza (*) $ 6x_i+3y_i^2+2z_i^3 \ge (x_iy_iz_i)^{\frac{6}{11}} $, poi le sommavo ciclicamente e concludevo con la disuguaglianza tra medie generalizzate con gli indici $ \frac{6}{11} $ e $ \frac{1}{2} $. Ma così nella (*) si presuppone uguaglianza sse $ x_i=y_i^2=z_i^3 $ e questo implicherebbe che il sistema originale si trasforma a termini noti costanti $ a=b=c $, che è solo un caso molto particolare del quesito originale.. Anche la dimostrazione di Natalino risolve infine solo un caso particolare infatti si dovrebbero avere $ z_i=y_i $ tutti uguali e costanti e $ x_i=y_i^2 $..

Bè il danno oramai l'ho fatto, cercherò di rimediare se possibile (sarà la maledizione del "molto facile" originale? )

Ok, credo di aver trovato..(l'intento è infatti di provare che gli $ x_i $ sono costanti così come gli $ y_i $ e gli $ z_i $)

$ \displaystyle \sum{\sqrt{xyz}}=\sum{\sqrt{x}\sqrt{yz}} \le \sqrt{a\sum{yz}} $ $ \le \displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{b\sum{z^2}} $ $ \le \sqrt[4]{a^2b} \cdot \sqrt[4]{c^{\frac{2}{3}}n^{\frac{1}{3}}} $ $ =(a^6b^3c^2n)^{\frac{1}{12} $
dove sono state utilizzate in ordine due cauchy-schwarz e una disuguaglianza tra medie generalizzate..

Ps. Adesso è giusta, ma la prossima volta sarò più attento

E' vero, avete ragione. Jordan complimenti per la soluzione .
Posso chiederti una cosa? sai, essendo nuovo del forum, non conosco i veterani come te. tu stai studiando matematica all'università? perché sarebbe preoccupante se fossi uno studente di liceo

No, non sono più del liceo, ma non studio nemmeno matematica

jordan ha scritto:ma non studio nemmeno matematica

Davvero?? beh, allora ti faccio tanti tanti complimenti

Hölder!

$ \sum\sqrt{xyz}\leq a^{\frac12}\cdot(\sum y\sqrt{y})^{\frac13}\cdot c^{\frac16} $

con la disuguaglianza tra medie $ (\sum y\sqrt{y})^{\frac13}\leq b^{\frac14}\cdot n^{\frac1{12} $ e concludiamo!