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Cercando in rete le sommatorie simmetriche, mi passato per la testa questo dubbio.

Una sommatoria simmetrica è uguale a una sommatoria che tiene conto delle disuguaglianze tra gli indici?

Mi spiego meglio.
Prendiamo e.g. $ \{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\} $. La sommatoria simmetrica di ordine $ 2 $ è

$ \displaystyle \sum_{sym}a_{1}a_{2}=a_{1}a_{2} + a_{1}a_{3} + a_{1}a_{4} + a_{2}a_{3} + a_{2}a_{4} + a_{3}a_{4} $

Questa sommatoria non è uguale alla sommatoria $ \sum_{1\leqslant i < j \leqslant 4}a_{i}a_{j} $? Se sì, vale in generale?

La sommatoria va fatta su tutte le possibili permutazioni degli elementi dell'insieme. Ad esempio, nel caso con quattro elementi devi ottenere 4!=24 addendi:
$ \displaystyle\sum_{sym}a_1a_2=\sum_{sym}a_1a_2a_3^0a_4^0= $
$ =\displaystyle\sum_{cyc}(a_1a_2a_3^0a_4^0+a_1a_2a_4^0a_3^0+a_1a_3a_2^0a_4^0+a_1a_3a_4^0a_2^0+a_1a_4a_2^0a_3^0+a_1a_4a_3^0a_2^0)= $
$ =\displaystyle\sum_{cyc}2(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4)= $
$ =2(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4)+2(a_2a_1+a_2a_3+a_2a_4)+2(a_3a_1+a_3a_2+a_3a_4)+2(a_4a_1+a_4a_2+a_4a_3)= $
$ =4(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4) $

Mi pareva di averlo già spiegato qui

jordan ha scritto:Mi pareva di averlo già spiegato qui

Sì, lo so. Ho cercato in rete degli esempi di sommatoria simmetrica per farmi un'idea. Al che mi è venuto quel dubbio. Mi è venuto quel dubbio perché mi pare che la sommatoria simmetrica che ho scritto io sia la sommatoria simmetrica senza ripetizioni, mentre quella scritta da pak-man è quella con le ripetizioni.

Io mio dubbio è se quella simmetrica senza ripetizioni abbia la proprietà di cui domando nel post con cui apro questo topic. Lo chiedo perché mi pare di avere scritto la sommatoria simmetrica senza ripetizioni. mi pare... e mi pare strano che sia uguale a $ \sum_{1\leqslant i < j \leqslant 4 $...

WiZaRd ha scritto:$ \displaystyle \sum_{sym}a_{1}a_{2}=a_{1}a_{2} + a_{1}a_{3} + a_{1}a_{4} + a_{2}a_{3} + a_{2}a_{4} + a_{3}a_{4} $

Questa sommatoria non è uguale alla sommatoria $ \sum_{1\leqslant i < j \leqslant 4}a_{i}a_{j} $? Se sì, vale in generale?

Sì, $ \displaystyle~\sum_{1\leqslant i < j \leqslant 4}a_{i}a_{j}=a_{1}a_{2} + a_{1}a_{3} + a_{1}a_{4} + a_{2}a_{3} + a_{2}a_{4} + a_{3}a_{4} $, anzi devi usare questa sommatoria perché su questo forum $ \displaystyle~ \sum_{sym}a_{1}a_{2} $ viene intesa come ha scritto pak-man

WiZaRd ha scritto:Una sommatoria simmetrica è uguale a una sommatoria che tiene conto delle disuguaglianze tra gli indici?

(Continuo a ripetere che la tua definizione di somma simmetrica non corrisponde esattamente a quella conosciuta qui) comunque (se gli esponenti sono solo 0 e 1) sì, infatti prendi coppie ordinate distinte, quindi in ogni monomio $ \displaystyle~a_ia_j $ della somma puoi supporre wlog $ \displaystyle~i<j $.
Supponi ora di avere 6 reali $ \displaystyle~a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 $. La cosa si complica se vuoi fare ad es. la somma di tutti i monomi $ \displaystyle~a_i^3a_ja_k $ in modo che non ci siano ripetizioni ma in modo che termini come $ \displaystyle~a_4^3a_2a_1 $ vengano considerati. Il discorso sulle disuguaglianze sugli indici non funziona più e il modo migliore per scrivere questa somma è considerare in quanti modi si ripeterebbero monomi uguali se facessimo una somma simmetrica (come definita da pak-man). In definitiva basta scrivere $ \displaystyle~\frac{\text{somma simmetrica}}{\text{numero di ripetizioni}} $.
In questo esempio gli esponenti formano la tupla $ \displaystyle~(3,1,1,0,0,0) $, quindi ogni monomio si ripete $ \displaystyle~2!\cdot3! $ volte ($ \displaystyle~2! $ per i due 1 e $ \displaystyle~3! $ per i tre 0). Quindi la somma dell'esempio la puoi scrivere come $ \displaystyle~\frac{\sum_{sym}a_1^3a_2a_3}{2!\cdot3!} $
La tua somma la potevi anche scrivere come $ \displaystyle~\frac{\sum_{sym}a_1a_2}{2!\cdot2!} $
Spero di non aver scritto cavolate soprattutto nell'ultima parte (inventata)...

pak-man ha scritto:La sommatoria va fatta su tutte le possibili permutazioni degli elementi dell'insieme. Ad esempio, nel caso con quattro elementi devi ottenere 4!=24 addendi:
$ \displaystyle\sum_{sym}a_1a_2=\sum_{sym}a_1a_2a_3^0a_4^0= $
$ =\displaystyle\sum_{cyc}(a_1a_2a_3^0a_4^0+a_1a_2a_4^0a_3^0+a_1a_3a_2^0a_4^0+a_1a_3a_4^0a_2^0+a_1a_4a_2^0a_3^0+a_1a_4a_3^0a_2^0)= $
$ =\displaystyle\sum_{cyc}2(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4)= $
$ =2(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4)+2(a_2a_1+a_2a_3+a_2a_4)+2(a_3a_1+a_3a_2+a_3a_4)+2(a_4a_1+a_4a_2+a_4a_3)= $
$ =4(a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4) $

Scusate se tiro fuori questo topic dopo un pò di tempo... Volevo chiedervi se potete chiarirmi la somma simmetrica... Non ho ben capito perchè, se va fatta su tutte le permutazioni, devo ottenere 24 addendi (in questo caso: $ \displaystyle\sum_{sym}a_1a_2 $ )... non dovrebbero essere 12? Cioè $ 4*3 $visto che non mi interessano i casi di "doppi" $ a_1a_1 ? $

Grazie in anticipo...

I casi doppi non sono contati, stai sbagliando il modo di contare le coppie di elementi da sommare. Infatti, non ci sono "4 modi di scegliere il primo e 3 di scegliere il secondo", ma 4!=24 modi di scegliere i quattro elementi, di cui due hanno esponente 1 e due hanno esponente 0.

Siii ho capito dove ho sbagliato.. In realtà sono doppi!

Ma allora ho un'altra domanda... nella somma ciclica si deve "ciclare" le lettere o si devono permutare?
Es.: dati a,b,c,d
$ \displaystyle\sum_{cyc}ab = $
1) $ ab+bc+cd+ad $
2) $ ab+bc+cd+ad+ac+cd $

Cioè la differenza dalla somma simmetrica è solo che in cyc conto uguali gruppi con ordine diverso mentre in sym le conto diverse?

(spero di essermi spiegato...)

mmm... non sono riuscito a spiegarmi?

La somma ciclica giusta è la prima: sommi $ ab $, cicli le lettere e diventa $ bc $, cicli ancora ed è $ cd $, ancora una volta ed è $ da $.

La seconda è metà somma simmetrica, infatti devi considerare sia $ abc^0d^0 $ sia $ abd^0c^0 $ che sono due permutazioni distinte.

Quindi è diverso dire

$ \displaystyle\sum_{cyc}ab = $ di $ a,b,c,d $

Piuttosto che

$ \displaystyle\sum_{cyc}ab = $ di $ a,c,b,d $

Non mi è molto chiaro il senso di ciò che hai scritto, vediamo se ho interpretato correttamente.

Se a,b,c,d sono prese in quest'ordine, $ $\sum_{cyc}ab=ab+bc+cd+da $, se sono prese nell'ordine a,c,b,d, bisognerebbe scrivere $ $\sum_{cyc}ac $, che è uguale a $ $ac+cb+bd+da $ (dunque sì, sono due scritture diverse).

Ok era quello che intendevo.... Grazie mille del prezioso aiuto!