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Passo finale di una marea di contazzi con le matrici....

Siano dati n naturale e $ \lambda_i $ complessi. Probar que
$ \max |\lambda_j-\frac 1n \sum \lambda_i| \leq \left(\frac{n-1}n \left( (\sum|\lambda_i|^2) - \frac 1n |\sum \lambda_i|^2 \right) \right)^{\frac 12} $
dove tutte le sommatorie vanno da 1 a n.

Si può notare che sia il LHS che il RHS sono invarianti per traslazione.
LHS è ovvio, per il RHS viene usando il fatto che $ |v|^2 = v \cdot v $.

Quindi possiamo supporre $ \sum \lambda_i = 0 $.
In tal caso la disuguaglianza da dimostrare diventa, dopo pochi passaggi:
$ |\lambda_n|^2 \le (n-1)\sum_{i=1}^{n-1} |\lambda_i|^2 $ (supponendo wlog che il più grande è $ \lambda_n $).

Partendo da:
$ \lambda_n = - \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i $
$ |\lambda_n| = |\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i| \le \sum_{i=1}^{n-1}|\lambda_i| $
$ |\lambda_n|^2 \le \left(\sum_{i=1}^{n-1}|\lambda_i| \right) \le (n-1)\sum_{i=1}^{n-1}|\lambda_i|^2 $, dove l'ultimo passaggio è vero per cauchyscwartz.