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Sia $ n>4 $ un intero fissato.

Mostrare che per ogni $ x $ intero fissato esistono infinite n-uple di interi $ (a_1,a_2,\ldots,a_n) $ tali che $ \displaystyle x=\sum_{i=1}^n{a_i^3} $

Pongo: $ $a_1=m+1,~a_2=m-1,~a_3=-m,~a_4=-m,~a_5=k$ $

$ $(m+1)^3+(m-1)^3+(-m)^3+(-m)^3+k^3=6m+k^3$ $ con $ $m,~k$ $ interi.

Ogni intero $ $x$ $ può essere scritto come $ $x=6x'+z$ $ con $ $x',~z$ $ interi e $ $0 \le z<6$ $, insomma $ $x \equiv z \pmod 6$ $.

Ci sono infiniti $ $k$ $ tali che $ $k^3 \equiv z \pmod 6$ $, basta che $ $k \equiv z \pmod 6$ $.

Riscrivo: $ $(m+1)^3+(m-1)^3+(-m)^3+(-m)^3+k^3=6m+k^3=x \Longrightarrow 6m=x-k^3$ $. Per ogni $ $k$ $ della forma $ $k \equiv z \pmod 6$ $ il RHS è sempre un multiplo di 6 e quindi esiste un $ $m$ $ che mi rende vera l'uguaglianza. I $ $k$ $ della forma $ $k \equiv z \pmod 6$ $ sono infiniti e quindi anche le quintuple di $ $a_i$ $ sono infinite.

Per $ $n>5$ $ pongo semplicemente gli $ $a_i$ $ con $ $i>5$ $ uguali a $ $0$ $.

W Harold Davenport (pag. 147).

Perfetto mod 2!

@Feddystra, really? pensare che l'ho modificato da un vecchio esercizio ..

FeddyStra ha scritto:W Harold Davenport (pag. 147).

Me lo devo procurare prima o poi quel libro