OliForum Matematico

Bazzicando su MathLinks ho notato che quando risolvono delle disuguaglianze pongono sic et simpliciter a+b+c=1 (nel caso di tre variabili), quando nella consegna del problema chi scrive la traccia dice solo che i tre parametri sono reali positivi. C'è un motivo per il quale lo possono fare?

Si fa perchè è comodo quando la disuguaglianza è omogenea.
Ora disuguaglianza omogenea significa che qualsiasi termine compare ad uno stesso grado:

$ \displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge \frac{3}{2}(a+b+c) $ è omogenea (grado 1).

$ \displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge \frac{3}{2} $ non lo è.

Ora, il vantaggio di essere omogenea è che se $ (a,b,c) $ è soluzione, anche $ (ka,kb,kc) $ lo è, con $ k $ positivo. Dunque, una disuguaglianza omogenea ti dà un grado di libertà in più rispetto a una non omogenea, per cui puoi imporre una condizione del tipo $ f(a,b,c)=t $ tra cui quella che dici di aver trovato su mathlinks. Chiaro?

OK. Chiaro. Grazie mille.

Non so se ti servirà in futuro: negli esercizi abbastanza standard, se la disequazione non è omogenea allora sarà quasi sempre accompagnata da una condizione che ti permette di omogeneizzare (si scrive così?).

Mmm... buono a sapersi... Thanks.

mod_2 ha scritto:...una condizione che ti permette di omogeneizzare (si scrive così?).

Che ti permette di renderla omogenea è perfetto

A quel punto se uno non trova altre vie e va per bunching dovrebbe venire in ogni caso...anche se ci vuole...

andare per bunching cosa significa? Grazie mille.

Il teorema di Muirhead, detto volgarmente bunching, afferma che, dati

$ x_1, x_2, \ldots, x_n $ reali positivi
$ a_1, a_2, \ldots, a_n $ e $ b_1, b_2, \ldots, b_n $ n-uple di reali positivi ordinate in modo decrescente e tali che $ \displaystyle \sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i $ per k<n e $ \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i $

Si ha

$ \displaystyle \sum_{sym} x_i^{a_i} \geq \sum_{sym} x_i^{b_i} $

Il simbolo $ \displaystyle \sum_{sym} $ indica la sommatoria simmetrica, ossia è una somma di tutti i possibili prodotti ottenibili permutando gli $ x_i $. A volte (ma adesso le fanno più difficli) una disuguaglianza si riesce a risolvere svolgendo una marea di calcoli e riconducendo poi il tutto in questa forma.

Se puoi usare Muirhead in realtà puoi anche usare l'AM-GM sugli stessi termini combinandoli in modo opportuno, ma Muirhead semplifica un po' le cose.

Scusate, non mi è ancora chiaro perchè posso porre $ \displaystyle a+b+c=1 $ in una disugualianza omogenea...

Cioè per esempio (scusate la banalità) abbiamo
$ a+b>c $ non posso scrivere
$ a+b+c>2c $
$ \frac{1}{2}>c $


Grazie a chi mi chiarirà la questione!!

condizioni aggiuntive le puoi aggiungere se la soluzione dipende da 1 o piu' parametri non determinabili dalle equazioni di partenza o condizioni al contorno
$ ~a+b>c\quad\Rightarrow\quad a+b-c>0 $ presenta in entrambi i membri le variabili allo stesso grado, ergo e' omogenea. Che vuol dire?
Sostituiamo $ ~k\neq0\;a=ka'\;b=kb'\;c=kc' $ e otteniamo
$ ~ka'+kb'-kc'>0\quad\Rightarrow\quad a'+b'-c'>0 $
ergo se $ ~(a,b,c) $ e' soluzione anche $ ~(a',b',c')=k(a,b,c) $ lo e'

ora in genere per qualunque soluzione $ ~(a',b',c') $ ho $ ~a'+b'+c'=s $, nulla da obiettare (chiamo s il valore della somma dei tre termini). Possiamo anche ritenere che derivi da una soluzione madre $ ~(a,b,c) $ e che lei sia ottenuta moltiplicando questa per un qualche $ ~k $. Fissiamo allora cosi' che sia $ ~k=s $, quindi $ ~a+b+c=1 $.
Dimostrato che qualunque soluzione $ ~(a',b',c') $ con $ ~a+b+c=s $ discende da una soluzione $ ~(a,b,c) $ con $ ~a+b+c=1 $


per chiarire prendiamo l'equazione $ ~a+b=c $ e cerchiamo soluzioni. E' omogenea ergo dipende da almeno 1 parametro. Poniamo ergo $ ~a+b+c=1 $ per restringere i casi: le soluzioni dipendono da un parametro ergo e' lecito farlo.
ora abbiamo che l'equazione diventa $ $c=\frac1 2 \quad\Rightarrow\quad a+b=\frac1 2 $
quindi le nostre soluzioni in generale saranno quelle esprimibili come $ $(kl,\frac k 2 -kl,\frac k 2) $
alla fine la soluzione dipende da 2 parametri distinti, corretto dato che abbiamo 3 variabili e 1 equazione. Potevamo imporre anche una seconda "condizione al contorno" per avere una soluzione e poi da questa costruire tutte le altre (in questo caso ho posto $ ~a=l $).

Notare che imponendo un'altra condizione al contorno posso ottenere la stessa cosa, come usare $ $c=\frac 1 2\;\; a=l $ e k costante moltiplicativa globale o $ $a=1\;\; c=\frac{1}{2l} $ e usando kl come costante moltiplicativa generale

Dani92 ha scritto:Scusate, non mi è ancora chiaro perchè posso porre $ \displaystyle a+b+c=1 $ in una disugualianza omogenea...

Cioè per esempio (scusate la banalità) abbiamo
$ a+b>c $ non posso scrivere
$ a+b+c>2c $
$ \frac{1}{2}>c $


Grazie a chi mi chiarirà la questione!!

E invece sì! Se "riscali" i numeri in modo che la somma faccia 1, c deve essere <1/2. Questo non significa che il c originale lo fosse.

Quindi una volta trovate le mie finte soluzioni le devo motiplicare per il $ k $ che ho usato all'inizio per "trasformare" $ a+b+c $ in 1?

E posso porre $ a+b+c $ uguale a qualsiasi numero con questo ragionamento, no?

esatto.
Le "condizioni al contorno" (per prendere in prestito un termine) si impongono per semplificare il problema. somma=1 sempre e' stupido.
Ad es.
$ $\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}=1\qquad a,b,c\in\mathbb{R}^+ $
e' omogenea. in tal caso puo' convenire porre $ ~abc=1 $

Quindi trovo una terna di soluzioni e da quella derivano poi tutte la altre infinite terne!

Corretto?

Se ci sono si. Ti semplifichi il problema di cercare soluzioni. A volte la strada puo' essere "tortuosa" o non banale.
Caso di prima:

$ $\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}=1\qquad a,b,c\in\mathbb{N}^0 $
porre $ ~abc=1 $ e ottenere $ ~a^3+b^3+c^3=1 $ non va bene dato che non ammettono soluzioni con interi positivi. E allora? E allora me ne infischio e invece pongo $ ~a,b,c\in\mathbb{Q}^+ $
ottengo cosi' che le mie soluzioni sono l'intersezione tra la "sfera unitaria in norma3" e $ ~abc=1 $ (ha un nome particolare? ) che non ha soluzioni.
Ergo non ci sono soluzioni.

Per spiegarti meglio il passaggio coi razionali consideriamo
$ $\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}=\frac 1 8\qquad a,b,c\in\mathbb{N}^0 $ e poniamo $ $abc=\frac 1 8 $ ottenendo $ ~a^3+b^3+c^3=1 $ e ce ne infischiamo di nuovo.
Ammettiamo che esista una soluzione nei razionali positivi, che si fa? Si cerca il minimi n tale che, moltiplicando per n la soluzione, ottengo una terna di interi (in pratica n e' il mcm dei 3 denominatori).
Ottenuta la nostra soluzione base con interi positivi.