OliForum Matematico

Sia $ K $ l'insieme di tutti i numeri reali $ x $ t.c. $ 0\leqslant x\leqslant 1 $. Sia $ f $ una funzione da $ K $ all'insieme di tutti i numeri reali $ \mathbb{R} $ avente le seguenti proprietà:

• $ f(1)=1 $;
  $ f(x)\geqslant0 $ per ogni $ x \in K $
  se $ x,y \text{ e } x+y \in K $, allora $ f(x+y)\geqslant f(x)+f(y) $

Provare che $ f(x)\leqslant 2x $ per ogni $ x \in K $.

WiZaRd ha scritto:

• $ f(1)=1 $;
  $ f(0)\geqslant0 $ per ogni $ x \in K $
  se $ x,y \text{ e } x+y \in K $, allora $ f(x+y)\geqslant f(x)+f(y) $

Non è corretta la tua seconda condizione..presumo sia 0≤f(x) per ogni x in K.
Ad ogni modo (x,y)=(0,1) implica 0≤f(0)≤f(0+1)-f(1) cioè f(0)=0.
Per induzione è vero che per ogni intero non negativo n vale $ f(2^{-n}) \le 2^{-n} $.
Per ogni $ x \in k \setminus \{0\} $ esiste un unico $ n \in \mathbb{N} $ t.c. $ 2^{-n-1} \le x < 2^{-n} $.
Allora $ f(x) \le f(x)+f(2^{-n}-x) \le f(2^{-n}) \le 2^{-n} \le 2x $.

Non saprei... quella è la condizione che c'è scritta sul pdf delle irish MO del '96:

http://maths.ucd.ie/~cmwilmott/IMO2005_ ... o_1996.pdf

Mi riferivo al fatto che hai scritto f(0) al posto di f(x)..

E beh, si vede che c'ho passato tutta la notte vicino
Sono fuso
Correggo.

jordan ha scritto: Per induzione è vero che per ogni intero non negativo n vale $ f(2^{-n}) \le 2^{-n} $.

Di questa cosa me ne sono accorto prendendo dei valori di riferimento (1/2,1/4,1/8 ) ma non sono riuscito a provarlo e lo preso per buono per risolvere il problema. Ora mi dici che è per induzione: come di preciso, dato che non mi riesce...

Aspé... è venuto: commettevo un errore di segno...

Mi spieghi come hai fatto a risolverlo in 23 minuti? Sei un fenomeno! C'ho sbattuto la testa sopra tutta la notte e mi ci sono volute 4 ore prima di capire come fare. Sul serio, per quanto possa contare detto da me, sei un fenomeno!

WiZaRd ha scritto:Mi spieghi come hai fatto a risolverlo in 23 minuti?

23 minuti? contando anche che i primi 15 non l'avevo visto?
ps. se mi avessi detto subito la fonte ci avrei messo anche meno visto che ho le soluzioni

Quindi lo hai risolto in 8 minuti!

jordan ha scritto: ps. se mi avessi detto subito la fonte ci avrei messo anche meno visto che ho le soluzioni

Interessante... posso chiedere dove le posso trovare?

Ad esempio guarda qui, c'è anche la bonus question