OliForum Matematico

In una scatola sono presenti delle palline rosse e delle palline blu. Si estrae una pallina e, senza reintrodurla, se ne preleva un'altra. Si determinino tutti gli assortimenti di palline (per esempio, 3 rosse e 1 blu, 15 rosse e 6 blu, etc...) tali per cui la probabilità che entrambe le palline estratte siano rosse sia uguale esattamente a un mezzo.
Se è in TdN ci sarà un motivo...

Beh, i conti sono facili... E dovrebbero esserci infinite soluzioni...

Enrico Leon ha scritto:Beh, i conti sono facili... E dovrebbero esserci infinite soluzioni...

Dimostralo!

tutti i casi con $ ~8b^2+1 $ quadrato perfetto

edit:
ovvero quando $ ~8b^2 $ e' pari al prodotto di 2 numeri pari consecutivi

Non è carino rispondere che "i conti sono facili", o con rivelazioni non motivate. Se volete contribuire scrivete per bene la soluzione completa—che è istruttivo per voi e per gli altri—o quantomeno postate tentativi di soluzione, non messaggi il cui unico scopo è far sapere agli altri che voi avete risolto il problema.

la mia non e' una soluzione, ma e' solo la conseguenza di
$ $\frac{r}{(r+b)}\frac{r-1}{(r+b-1)}=\frac{1}{2}\; r,b\in\mathbb{N}^0 $
ora e' tutto da dimostrare che le soluzioni di
$ ~8b^2+1=k^2\; b,k\in\mathbb{N}^0 $
sono infinite.

semplicemente dato che "i conti sono facili" ho fornito il passo successivo

edit:
se qualcuno dei giovani si chiedesse dei passaggi
i denominatori sono positivi per costruzione, ergo
$ ~2r(r-1)=(r+b)^2-(r+b) $
da cui
$ ~r^2-(2b+1)r+(b-b^2)=0 $
quindi
$ $r=\frac{2b+1+\sqrt{(2b+1)^2-4(b-b^2)}}{2}=\frac{2b+1+\sqrt{8b^2+1}}{2} $ (l'altra soluzione e' negativa ergo non va bene)
da cui la condizione di sopra.
Questo e' il calcolo spiccio di base a molti di questi problemi. Il problema vero e' quello espresso sopra

$ $ k^2 - 8b^2 = 1 $ $ è un'equazione di Pell, e si dimostra in un modo abbastanza classico che se ha almeno 2 soluzioni, allora ne ha infinite.

Iniziamo a notare che

$ $ 3^2 - 8 \cdot 1^2 = 1 $ $
$ $ 17^2 - 8 \cdot 6^2 = 1 $ $

Bene, possiamo tranquillamente supporre che esistano due coppie di soluzioni, chiamiamole (a,b) e (c,d).

Dunque:

$ $ b^2 - 8a^2 = 1 $ $
$ $ d^2 - 8c^2 = 1 $ $

Moltiplicando tra loro:

$ $ (b^2 - 8a^2) \cdot (d^2 - 8c^2) = 1$ $

$ $ 64a^2c^2 - 8a^2d^2 - 8b^2c^2 + b^2d^2 = 1$ $

Riordiniamo, sommiamo e sottraiamo $ $16abcd$ $ e raccogliamo il -8:

$ $ (64a^2c^2 + b^2d^2 + 16abcd) - 8(a^2d^2 + b^2c^2 + 2abcd) = 1$ $

Ovvero

$ $ (8ac + bd)^2 - 8(ad + bc)^2 = 1 $ $

Che è l'equazione di partenza! Abbiamo dimostrato che se (a,b) e (c,d) sono soluzioni, allora anche (8ac + bd, ad + bc) è soluzione; da cui esistono infinite coppie di interi che soddisfano

$ $8b^2 + 1 = k^2$ $

Mmmh, non hai dimostrato che sono distinte.. detto cosi nessuno vieta che un certo punto in poi potrebbero ripetersi

jordan ha scritto:Mmmh, non hai dimostrato che sono distinte.. detto cosi nessuno vieta che un certo punto in poi potrebbero ripetersi

Ma se successivamente prendo (c,d) e (8ac + bd, ad + bc) otterrò una soluzione ovviamente maggiore di entrambe... e se poi prendo questa soluzione e (8ac + bd, ad + bc) ne avrò un'altra maggiore della quarta... come possono ripetersi?

Si, hai ragione anke te è che tenevo a mente che per ogni $ k \in \mathbb{Z}_0 $ l'insieme $ \{a^2+kb^2\} $ è chiuso rispetto al prodotto..(in realtà questa è anche la giustificazione sufficiente contro la tua affermazione qui).
quello che ti chiedevo io qui sarebbe stato lecito nel caso in cui fosse stato $ k<0 $, ma un'equazione del tipo $ $a^2+kb^2=1, k \in \mathbb{N} $ non ha molte soluzioni