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Cito un bel problema presente nella prova finale dello stage di Roma

Quanti sono nel piano cartesiano i triangoli non degeneri aventi i vertici in punti della forma $ (m,n) $ con $ m $ e $ n $ interi tali che $ 1\le m\le100 $ e $ 1\le n\le2 $?
Quanti diventanto se la condizione $ 1\le n\le2 $ è sostituita da $ 1\le n\le3 $???

Divertitevi...

il primo vertice si può scegliere tra tutti i punti (200 possibilità)
se il secondo vertice sta sulla stessa "riga" del primo (99 possibilità), allora il terzo deve essere sull'altra "riga"(100 possibilità) per non essere il triangolo degenere
se il secondo sta sulla riga differente dal primo (100 poss.) allora il terzo punto può essere scelto ovunque (198 possibilità)
$ 200*(99*100+100*198)=200*100*297 $
ovviamente il tutto deve essere diviso per 6
$ 200*100*297/6=10000*99 $

io ho ragionato cosi:
abbiamo 2 colonne quindi in una delle 2 devono stare sicuramente 2 vertici. Prendiamo il vertice (1,1):possiamo combinarlo con altri 99 punti di ascissa 1 e per ognuno di questi abbiamo 100 punti possibili di ascissa 2,quindi 99*100. Poi fissiamo il vertice (1,2) e ne avremo 98*100 e cosi via fino al vertice (1,99) per il quale avremo 1*100 possibilità.Quindi il numero finale dei possibili triangoli è $ \displaystyle 2\sum_{i=1}^{99} 100i $,questo perchè abbiamo due colonne e quindi moltiplichiamo per 2. Il risultato finale finale è quindi $ 2*\frac{99*100} {2}*100=99*100^2 $.

Invece per il secondo punto il ragionamento è analogo però bisogna aggiungere i casi in cui i 3 vertici hanno tutti diversa ascissa,che sono 100^3-100-2*98(bisogna escludere anche le sequenze di punti collineari in diagonale).Quindi come prima avremo $ \displaystyle 3\sum_{i=1}^{99} 200i $ che sono tutti i triangoli con 2 vertici con la stessa ascissa, più $ 100^3-100-2*98 $
E' giusto?

EDIT:ho apportato alcune correzioni

Già, era proprio così, eppure sono riuscito a sbagliarla...

al primo colpo anch'io ho sbagliato il secondo punto