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Sia fissato $ n \in \mathbb{N}_0 $ e sia dato un polinomio $ P(x) \in \mathbb{R}[x] $ tale che $ \tex{deg}(P(x))=n $.
Sapendo che per ogni $ i \in \{1,2,\ldots,n+1\} $ vale $ \displaystyle P(i)=\frac{1}{i} $, trovare il valore di $ P(n+2) $.

a me viene $ \displaystyle P(n+2)=\frac {a_n(n+1)!+1} {n+2} $ dove $ a_n $ è il coefficiente di $ x^n $ in $ P(x) $

Purtroppo non sono riuscito a fare di meglio....al massimo ci riprovo domani

Hint:

$ $ P(x+n+1)=\sum_{i=0}^n{(-1)^{n-i}\binom{n+1}{i}P(x+i)} $

x|p(x) <==> p(0)=0

Provo a dire la mia...

Consideriamo il polinomio $ $xp(x)-1$ $: esso è di grado n+1 e si annulla per tutti gli i compresi tra 1 e n+1. Per Ruffini sarà allora $ $xp(x)-1=k(x-1)\cdot(x-2)\cdots(x-(n+1))$ $, dove k è una certa costante reale diversa da 0. Ricavando p(x) otteniamo $ $p(x)=\frac{k(x-1)\cdot(x-2)\cdots(x-(n+1))+1}{x}$ $.

Sviluppando otteremo $ $p(x)=\frac{kx^{n+1}+ka_nx^n+\dots+ka_1x+ka_0+1}{x}=kx^n+ka_nx^{n-1}+\dots+ka_1+\frac{ka_0+1}{x}$ $ dove gli a_i sono i vari coefficienti, e in particolare $ $a_0=\pm(n+1)!$ $, a seconda che n sia dispari o pari.

Affinchè p(x) sia un polinomio di grado n, deve essere$ $\frac{ka_0+1}{x}=0 \Rightarrow k=-\frac{1}{a_0}=\pm\frac{1}{(n+1)!}$ $ a seconda che n sia pari o dispari.

Abbiamo quindi $ $p(x)=\frac{(x-1)\cdot(x-2)\cdots(x-(n+1))}{\pm(n+1)!x}+\frac{1}{x}$ $.

Ora, $ $p(n+2)=\frac{(n+2-1)\cdot(n+2-2)\cdots(n+2-(n+1))}{\pm(n+1)!(n+2)}+\frac{1}{n+2}=\pm\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}$ $

Quindi se n è pari $ $p(n+2)=\frac{2}{n+2}$ $, mentre per n dispari $ $p(n+2)=0$ $


EDIT: corretto, grazie maioc92

fede90 ha scritto:Provo a dire la mia...

Sviluppando otteremo $ $p(x)=\frac{kx^{n+1}+ka_nx^n+\dots+ka_1x+ka_0+1}{x}=kx^n+ka_nx^{n-1}+\dots+ka_1+\frac{ka_0+1}{x}$ $ dove gli a_i sono i vari coefficienti, e in particolare $ $a_0=\pm(n+1)!$ $, a seconda che n sia dispari o pari.

Affinchè p(x) sia un polinomio di grado n, deve essere$ $\frac{ka_0+1}{x}=0 \Rightarrow k=-\frac{1}{a_0}=\pm\frac{1}{(n+1)!}$ $ a seconda che n sia pari o dispari.

Questa era la parte che mancava a me ieri (solo che il tuo k è il mio a_n)!!!!Purtroppo mi è venuta in mente oggi pomeriggio e vedo che qualcuno mi ha anticipato....vabbè fa niente.
Solo una cosa:il risultato finale non è $ \displaystyle\frac {(-1)^{n+2}+1} {n+2} $?

Si avevo fatto un errore alla fine, grazie maioc... Beh comunque non potevo resistere a postare la soluzione, credo sia il primo problema di jordan che sono riuscito a risolvere (e probabilmente uno dei pochi di cui ho capito l'enunciato )

fede90 ha scritto:Si avevo fatto un errore alla fine, grazie maioc... Beh comunque non potevo resistere a postare la soluzione, credo sia il primo problema di jordan che sono riuscito a risolvere (e probabilmente uno dei pochi di cui ho capito l'enunciato )

lo stesso vale per me devo dire

TBPL ha scritto:Hint:

$ $ P(x+n+1)=\sum_{i=0}^n{(-1)^{n-i}\binom{n+1}{i}P(x+i)} $

x|p(x) <==> p(0)=0

XDXD
ho ingrandito il suggerimento che era in bianco, il non averlo notato mi è costato un due orette a trovare quel lemma sopra

Comunque, va bien, Ok a Maioc92 a fede 90!

grazie anche se fede90 mi ha battuto sul tempo!!!Comunque io l'hint ancora non l'ho capito......TBPL potresti spiegare come ci sei arrivato?

Be', quello di sotto l'avete usato anche voi, quindi non vi state riferendo a quello (spero )
Per quello di sopra, rimando a Jordan la dimostrazione

sisi io mi riferisco a quello di sopra (quello di sotto non l'avevo visto neanch'io, era veramente molto nascosto...)

Ok, mostriamo il lemma
Per ipotesi $ deg(P(x))=n \in \mathbb{N}_0 $, allora definiamo ricorsivamente i polinomi $ P^i(x) $ di modo tale che:
$ P^1(x)=P(x+1)-P(x) $
$ P^{i+1}(x)=(P^i(x))^1 $ per ogni $ i \in \mathbb{N}_0 $.
Semplicemente per induzione otteniamo che:
$ \displaystyle P^i(x)=\sum_{i=0}^k{(-1)^{k-i}\binom{k}{i}P(x+i)} $.

In particolare $ P^n(x) $ è una costante e quindi $ P^m(x)=0 $ per ogni $ m \ge n+1 $.

Questo significa che $ \displaystyle P(x+n+1)=\sum_{i=0}^n{(-1)^{n-i}\binom{n+1}{i}P(x+i)} $.(*)

Posto $ x=1 $ nella (*) otteniamo la tesi. []