OliForum Matematico

(Modificato da un problema di Erdos) Detti $ p_1<p_2<p_3<\ldots $ tutti e soli i primi di $ \mathbb{N} $ mostrare che esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ 2p_n>p_{n-1}+p_{n+1} $

è accettabile la risposta:
"perché esistono infiniti primi gemelli" ?

beh, se sai dimostrarlo sì ... o se conosci qualcuno che l'ha dimostrato.
Nel qual caso diccelo, visto che a tutt'ora la congettura dei primi gemelli è ancora irrisolta.

Uhm, chissà se i due problemi sono equivalenti....

(Va di moda scrivere cose inutili nei problemi di TdN sul forum....)

Comunque usando stime rozzissime, supponendo per assurdo che la tesi di jordan sia falsa, segue che, da un certo punto in poi, $ P_{n+1}-P_n\ge \sqrt{n} $

Quindi grossomodo esiste una costante c tale che $ \displaystyle\pi (n)<cn^{\frac{2}{3}} $, cosa che sappiamo essere falsa. Per la dimostrazione basta porre $ f(n)=\log(mcm(1,\dots ,n)) $ e notare che $ f(n)>an $ per qualche a reale positivo, da cui visto che $ \pi (n)\log (n)\ge f(n) $ segue una versione debole del teorema fondamentale dei numeri primi....

Sì, so che è una dimostrazione orribile, ma non credo ne esistano di sostanzialmente più decorose...