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Qual è la cardinalità dell'insieme formato da tutte le possibili cardinalità di tutti gli insiemi?

i cardinali non sono un insieme, ma sono una classe. è un fatto standard in teoria degli insiemi, e richiede un po' di teoria degli ordinali...

un paio di hint (che secondo me sono esercizietti carini per prendere un po' di mano con la materia):

1. se i cardinali sono un insieme, allora lo sono anche gli ordinali.
2. gli ordinali non sono un insieme, perché \alpha\not\in\alpha per \alpha cardinale.

E la cardinalità di una classe non esiste...?

Enrico Leon ha scritto:E la cardinalità di una classe non esiste...?

Se la classe è propria (ovvero è una classe e non un insieme) no: infatti se avesse cardinalità sarebbe in bigezione con $ \aleph_{\alpha} $ per qualche $ \alpha $, e dunque sarebbe un insieme per l'assioma di rimpiazzamento.

Insomma, in poche parole, se io prendo uno scatolone e ci butto tutte le cardinalità possibili ed immaginabili, alla fine quanta roba ho dentro...?

Sostanzialmente, più di qualsiasi cardinale.