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Ho qualche dubbio sulla mia soluzione, vediamo che ne esce fuori

Sia $ ~f(x) $ una funzione a valori reali definita sulla semiretta reale $ ~\{x \geq 0\} $. Supponiamo che:
(a) $ ~f(x) $ sia derivabile con derivata $ ~f' $ continua;
(b) $ ~f(0) = 0 $;
(c) per ogni $ ~x \geq 1 $ risulti:

$ ~0 < f(x) \leq xf'(x) $.

Provare che l'equazione $ ~f(x) = k $ ha almeno una soluzione $ ~x\geq 0 $, per ogni $ ~k \geq 0 $.

In $ x=1 $ si ha $ f(x)=\varepsilon>0 $ e per $ x\ge1 $ si ha $ f'(x)>0 $, quindi $ f(x) $ è crescente. Allora per $ x\ge1 $ si ha $ f(x)>f(1)=\varepsilon $, quindi $ \displaystyle f'(x)\ge\frac{f(x)}x\ge\frac\varepsilon x $.
Dal momento che $ f(x) $ è continua, essa assume tutti i valori tra $ 0 $ e $ \varepsilon $. Per dimostrare che assume anche tutti i valori superiori a $ \varepsilon $, basta dimostrare che $ f(x) $ non è superiormente limitata: $ \displaystyle f(x)-\varepsilon=\int_1^x f'(t)dt>\int_1^x\frac\varepsilon t dt=\varepsilon\ln x $.

Se non mi piglio un abbaglio, dalla (c) si ha che, per $ $x\geq 1 $,

$ $\int_1^{x}\frac 1 t \ dt \leq \int_1^{x}\frac{f'(t)}{f(t)} \ dt $,

ovvero $ $\ln x \leq \ln f(x)-\ln f(1) $, da cui $ f(x)\geq f(1)x $, ergo non è superiormente limitata.

EDIT: corretto refuso.

Tibor Gallai ha scritto:Se non mi piglio un abbaglio, dalla (c) si ha che, per $ $x\geq 1 $,

$ $\int_1^{x}\frac 1 t \ dt \leq \int_1^{x}\frac{f'(t)}{f(t)} \ dt $,

ovvero $ $\ln x \leq \ln f(x) $, da cui $ f(x)\geq x $, ergo non è superiormente limitata.

Io ho fatto proprio così

Non ero sicuro se era possibile integrare in quel modo.

f(t) è positiva, quindi puoi dividere. f'(t) e f(t) sono continue, quindi il rapporto è continuo, quindi integrabile. Non vedo controindicazioni a integrare così.

EDIT: no, veramente c'era un errorino non importante:
dall'integrale viene
$ $\ln x \leq \ln f(x) - \ln f(1) $, quindi $ $f(x) \geq f(1) x $.

Tibor Gallai ha scritto:f(t) è positiva, quindi puoi dividere. f'(t) e f(t) sono continue, quindi il rapporto è continuo, quindi integrabile. Non vedo controindicazioni a integrare così.

Non ero sicuro che tutte le funzioni continue fossero integrabili (e ora m'è bastato uno sguardo al libro per trovare la risposta a questa domanda )

Posto la mia soluzione: se è corretta, è più semplice anche di quella del libro con tutti i test e le soluzioni.

La condizione (c) implica $ x\cdot f'(x)>0\quad \forall x \geq 1 $ , ma poichè x è positivo possiamo scrivere $ f'(x)>0 \quad \forall x \geq 1 $ , che è una cosa molto bella poichè implica che f(x) è strettamente crescente in $ [1;+\infty) $ .
Dunque f(x) assume sicuramente almeno una volta tutti i valori $ \geq f(1) $ . Ma poichè f(x) è continua in [0;1], per il teorema di esistenza dei valori intermedi essa assume almeno una volta anche tutti i valori compresi tra $ f(0)=0 $ e $ f(1) $ .

È giusta?

hm.. ti dico $ -e^{-x} $: tu trovi l'errore nella tua dimostrazione?

[EDIT: errore di TeX...]

Si, è necessario dimostrare che non ci sono asintoti, oppure che $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) = + \infty $ ...
Un po' di spam non fa mai male XD