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Calcolare $ F_n^2+F_{n+1}^2 $, dove $ F_n $ indica i numeri di Fibonacci.

EDIT: cazzata gigantesca...

credo sia invece $ F_{2n+1} $. Però dimostrarlo è un'altra cosa...

Thebear ha scritto:EDIT: cazzata gigantesca...

Intendi così: cazzata?

$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $ è proprio una bella matrice, ma le sue potenze ancora di più!

Sepp ha scritto:$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $ è proprio una bella matrice, ma le sue potenze ancora di più!

Uau

Sia $ $F_0=0, F_1=1$ $.
Sia $ $A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$ $. Si dimostra per induzione che $ $A^n=\left( \begin{array}{cc} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{array} \right)$ $.

Ora $ $A^n*A^{n+1}=\left( \begin{array}{cc} F_{n+1}F_{n+2}+F_nF_{n+1} & F_n^2+F_{n+1}^2 \\ F_nF_{n+2}+F_{n-1}F_{n+1} & F_nF_{n+1}+F_nF_{n-1} \end{array} \right)$ $

Ma $ $A^n*A^{n+1}=A^{2n+1}=\left( \begin{array}{cc} F_{2n+2} & F_{2n+1} \\ F_{2n+1} & F_{2n} \end{array} \right)$ $

da cui (tra le altre cose) :
$ $F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$ $


Grazie del consiglio Sepp!

Rilancio: dimostrate che $ F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3 $ oppure per i più vogliosi

$ F_{n+m+p}=F_{n+1}F_{m+1}F_{p+1}+F_nF_mF_p-F_{n-1}F_{m-1}F_{p-1} $

Ciao

Chiamiamo $ T(m,n,p) $ il RHS. Notiamo che $ T $ è simmetrica nelle variabili. Per dimostrare la formula con l'induzione, basta quindi indurre rispetto a una sola delle variabili, wlog $ m $.
Verifichiamo innanzi tutto che la formula è vera per $ T(0,0,0) $ e $ T(1,0,0)=T(0,1,0)=T(0,0,1) $: si ha infatti
$ T(0,0,0)=F_1^3+F_0^3-F_{-1}^3=1^3+0^3-1^3=0=F_{0+0+0} $;
$ T(1,0,0)=F_2F_1^2+F_1F_0^2-F_0F_{-1}^2=1+0+0=F_{1+0+0} $.
Ora dimostriamo che supponendo valide le formule per $ T(m,n,p) $ e $ T(m-1,n,p) $ si ottiene $ T(m+1,n,p) $. Abbiamo infatti
$ \begin{array}{l} F_{(m+1)+n+p}=F_{m+n+p}+F_{(m-1)+n+p}=T(m,n,p)+T(m-1,n,p)=\\ =(F_{m+1}F_{n+1}F_{p+1}+F_mF_nF_p-F_{m-1}F_{n-1}F_{p-1})+ (F_{m}F_{n+1}F_{p+1}+F_{m-1}F_nF_p-F_{m-2}F_{n-1}F_{p-1})=\\ =F_{m+2}F_{n+1}F_{p}+F_{m+1}F_nF_p-F_mF_{n-1}F_{p-1}=\\ =T(m+1,n,p) \end{array} $

fede90 ha scritto:Sia $ $A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$ $. Si dimostra per induzione che $ $A^n=\left( \begin{array}{cc} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{array} \right)$ $.

Curiosità: prendendo il determinante di $ A^n $, si ricava immediatamente l'identità di Cassini:

$ F_{n-1}F_{n+1}-F^2_n=(-1)^n $.

Maioc92 ha scritto:credo sia invece $ F_{2n+1} $. Però dimostrarlo è un'altra cosa...

Si poteva mostrare per induzione insieme a $ F_{2n+2}=F_{n+1}(2F_n+F_{n+1}) $