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Siano $ C_1 $ , $ C_2 $ due circonferenze di centri e raggi rispettivi $ O_1,O_2 $ e $ r_1, r_2 $. Dato un punto $ P $ esterno alle die circonferenze si considerino le tangenti per $ P $ alle due circonferenze e siano $ M_1 , N_1 $ e $ M_2 , N_2 $ i rispettivi punti di contatto. Si determini il luogo geometrico dei punti tali che $ PM_1^2+PM_2^2=1 $

Si discutano i punti $ P $ per cui $ PM_1^2+PM_2^2 $ è minima.

Sia $ d_1=\overline{PO_1}, d_2=\overline{PO_2} $. Allora $ \overline{PM_1}^2+\overline{PM_2}^2=1 $ è equivalente a $ d_1^2+d_2^2=r_1^2+r_2^2+1=k^2 $.
Il luogo dei punti $ P $ è il cerchio di Roberval, con centro nel punto medio di $ O_1O_2 $ e raggio $ \displaystyle\frac12\sqrt{2k^2-\overline{O_1O_2}^2} $.
$ \overline{PM_1}^2+\overline{PM_2}^2 $ è minima quando $ P $ è il punto medio di $ O_1O_2 $.

=) Ero giunto alla stessa conclusione.. Giusto non avevo calcolato il raggio della circonferenza e non sapevo che si chiamasse cerchio di Roberval!