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dimostrare che se $ \displaystiile{p} $ e $ \displaystiile{p^2+2} $ sono primi (con $ \displaystiile{p} $ naturale), allora lo è anche $ \displaystiile{p^3+2} $

da lasciare ai principianti...

Semplicemente, per $ p $ diverso da $ 3 $, $ p^2+2 $ è multiplo di $ 3 $...
Infatti $ p $ è congruo a $ \pm1 $ modulo $ 3 $ e quindi, ecc. ecc...