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Sia ABC un triangolo, siano P e Q sui lati AC e AB; siano K,L,M i punti medi di PQ, BP, CQ. Si supponga che la circonferenza circoscritta a KLM sia tangente a PQ. Dimostrare che P e Q sono equidistanti dal circocentro di ABC.

Questo era l'esercizio 2 delle IMO09, da poco gloriosamente affrontate dalla nostra squadra.

Il titolo del thread non è motivato dal fatto che io pensi che l'esercizio sia facile (beh, un pochino) ma dal fatto che in realtà c'è molto più da dimostrare di quanto richiesto dalla tesi, almeno secondo me... quindi, cimentatevi nel problema senza avere come obiettivo primario di dimostrare la tesi, ma studiate un po' la configurazione e cercate di dedurne il maggior numero di proprietà possibili.

MLK è simile ad APQ, ma questo dovrebbe servire a dimostrare l'intero problema; Detto A' il punto medio di BC, si ha poi che gli angoli KA'M e MAC (se non ho sbagliato le lettere) sono congruenti (si tratta degli angoli che una mediana forma in triangoli simili), e secondo il test Geogebra M si trova sempre su una certa iperbole che passa anche per i punti medi dei lati di ABC e per A.

Indichiamo con $ \mathfrak R(\mathcal C_1,\mathcal C_2) $ l'asse radicale di due circonferenze.
Siano $ A',B',C' $ i punti medi dei lati e $ O,O',O'' $ i centri di $ \Gamma_{ABC},\Gamma_{KLM},\Gamma_{A'PQ} $.

$ \bullet $ $ A',M,B' $ sono allineati;
$ \bullet $ $ A',M,C' $ sono allineati;
$ \bullet $ $ A'MKL $ è un parallelogramma;
$ \bullet $ $ O,K,P,B' $ sono ciclici;
$ \bullet $ $ O,K,Q,C' $ sono ciclici;
$ \bullet $ $ O,O',O'' $ sono allineati e appartengono all'asse di $ PQ $;
$ \bullet $ $ \Gamma_{KLM}\text{ e }\Gamma_{A'PQ}\text{ tangenti} \Longleftrightarrow O\equiv A' \Longleftrightarrow \widehat{BAC}=\pi/2 \Longleftrightarrow O\in\Gamma_{KLM} $;
$ \bullet $ $ \mathfrak R(\Gamma_{PB'K},\Gamma_{A'PQ})\cap\mathfrak R(\Gamma_{QC'K},\Gamma_{A'PQ}) $ appartiene all'asse di $ PQ $.