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Siano $ a,b,c\ge0 $; dimostrare che $ a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2(ab+bc+ca) $.

Posto $ $P=abc $ $ $Q=ab+bc+ca $ e $ $S=a+b+c $ ho che la disuguaglianza diventa $ $S^2-4Q+2P+1\ge0 $. Il LHS, essendo monotono in $ $P $, per il lemma abc ha minimo quando due variabili sono uguali, quindi pongo wlog $ $a=b $.
$ $2a^2+c^2+2a^2c+1\ge4ac+2a^2 $
$ $2a^2c-4ac+c^2+1\ge0 $
Se c=0, 1>0. Se c>0
$ $2a^2-4a+c+\frac{1}{c}\ge0 $
La prima parte $ $2a^2-4a $ è una parabola con minimo -2, quindi resta da dimostrare
$ $c+\frac{1}{c}\ge2 $
$ $(c-1)^2\ge0 $

julio14 ha scritto:essendo monotona in $ $P $ per il lemma

Quale lemma?

Ho dimenticato qualche virgola... è il lemma abc, l'ho visto ad uno stage ma al momento non saprei dartene una dimostrazione.

Ma qual è l'enunciato del lemma?

Ad occhio e croce, dal video di algebra del WC09: data un espressione simmetrica in a,b,c, se la sua formulazione in termini di P,Q,S (come sopra) (sostituzione che è sempre possibile fare per nelle simmetriche) è monotona in P, allora assume massimo e minimo quando due variabili sono uguali. Uh, lì lo chiama metodo abc, ma a me è rimasto in mente lemma non so perché

Tibor Gallai ha scritto:Problema 2.6

Complimenti: hai trovato la fonte da cui l'ho tratto!

Uh, figo, vuol dire che ho centrato la soluzione da manuale.
p.s. grazie a entrambi (perché in realtà non so quale dei due ringraziare) che finalmente il metodo abc trova un posto sensato nella mia testa, e non è più una sorta chiave magica per le disuguaglianze.

julio14 ha scritto:[...]
$ $2a^2c-4ac+c^2+1\ge0 $
$ $2a^2-4a+c+\frac{1}{c}\ge0 $[...]

Scusa se mi intrometto, ma nell'ipotesi hai $ a,b,c \geq 0 $. Quindi prima di dividere per $ c $, come mi sembra tu faccia, devi escludere (o meglio: trattare a parte) il caso che si annulli, giusto? Ci vuole proprio poco a sistemare la cosa, ma credo che a rigore sia un passaggio necessario.

ok sistemato.
(Devo ammettere che nelle disuguaglianze non mi sono quasi mai posto il problema di dividere per 0...)