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(IMO2008.3) Mostrare che esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ \text{gpf}(n^2+1)>2n+\sqrt{2n} $.


Nb. 1) gpf(x) denota il più grande fattore primo di x. 2)A mio parere uno dei più belli problemi IMO..

jordan ha scritto:(IMO2008.3) Mostrare che esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ \text{gpf}(n^2+1)>2n+\sqrt{2n} $.


Nb. 1) gpf(x) denota il più grande fattore primo di x. 2)A mio parere uno dei più belli problemi IMO..

A mio parere una schifezza ma la teoria dei numeri olimpica ormai è giunta al punto del tracollo.

Può essere che già conoscevi il risultato di Nagel "Per ogni $ m>0 $ esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ \text{gpf}(n^2+1)>mn $"..
In caso contrario perchè la classificheresti come una schifezza?

Come risultato, perchè è debolissimo, cioè, la disuguaglianza
$ > 2n + \sqrt{2n} $
è un guadagno insignificante rispetto alla semplice
$ > 2n $

Infatti la condizione che la seconda disuguaglianza è vera ma la seconda falsa è talmente restrittiva che l'esercizio praticamente viene da solo. (con questo non voglio dire che è un problema banale, ma voglio dire che visto da un certo punto di vista è banale. Per un imo 3 era comunque facile)

Sì hai ragione anche te, poi alla fine sono gusti..
riguardo la relativa facilità mi è risultato più difficile questo che il 3 di quest'anno.. comunque non voglio andare OT, resta che qualcuno provi questo risultato, o se gli viene cosi facile provi quello di Nagel