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Siano $ a,b,c $ tre numeri reali tali che $ a^2+b^2+c^2=1 $. Determinare il minimo valore di $ ab+bc+ac $.

Si ha $ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) $ da cui, tenendo conto del dato iniziale, $ ab+ac+bc=\frac {(a+b+c)^2-1}2 $ e poichè un quadrato vale al minimo 0, la somma richiesta vale al minimo $ -\frac 12 $, naturalmente se questo valore è raggiungibile. Lo è, e il modo più semplice per ottenerlo è che una lettera valga 0 e le altre due $ \pm \frac 1{\sqrt 2} $.